(双射\(\Leftrightarrow\)可逆)的证明依据是不是错了？

wufaxian

摘自《普林斯顿数学分析读本》p70

定理 7.15 (双射\(\Leftrightarrow\)可逆). 当且仅当 f : A → B 是可逆函数时它是双射． 证明. 我们先证明双射是可逆函数．为了使\(f^{-1 }\)存在，\(f^{-1 }\)必须对 B 的每个元素 都有定义，而且 B 的每个元素只能对应 A 的一个元素（如果与 A 的两个不同元 素对应，那么\(f^{-1 }\)就不是函数了）．这一点可以利用定义来证明！因为 f 是满射， 所以 B 的每一个元素都被 A 的某个元素映射到，因此 \(f^{-1 }\) 对 B 的每个元素都 有定义．由于 f 是单射函数，所以 B 的任意两个元素都不会被 A 的同一个元素 映射到，因此 \(\forall\)y ∈ B, \(f^{-1 }\) (y) 是唯一的． 另一个方向可以按照类似的方法来证明．如果 f 是可逆函数，那么 \(f^{-1 }\)对 B 的每个元素都有定义，因此 B 的每个元素一定可以通过 f 被 A 的某个元素映射 到，所以 f 是满射．另外，因为 \(f^{-1 }\) 是一个函数，所以每个 x ∈ A 对应不超过 一个 f(x) ∈ B，因此 f 是单射．


————上方红色字体是不是印错了。我觉得应该是“ 另外，因为 \(f^{-1 }\) 是一个函数，所以每个 y∈ B 对应不超过 一个\(f^{-1 }\) (y) ∈ A，因此 f 是单射．”  。这样才对吧？