”康托尔对角线法证明(0, 1)是一个不可数集合“的困惑

wufaxian

普林斯顿数学分析P76
首先我概述一下该证明的简单思路：构造任意“可数”无限集合E，用康托尔对角线法构造s，总可以证明s\(\notin\)E，但s\(\in\)S，因此S是不可数集。
E之所以是可数集合的依据是：\(e_i\left( i\in N\right)\) 所以E与N之间存在双射关系，因此E是可数集合


疑问：
但是我对这个推导链条中的一个关键环节有点一知半解。请看下图红线：因为s 都不可能等于任意\(e_{i}\)，所以s\(\notin\)E。我的困惑是以上依据似乎有道理，因为s不等于无限可数集E中的任何一个元素，所以s不在集合E中。但是E这个集合有明确的规则么？似乎没有吧。那么s不等于E中任何一个元素这个理由可以阻止”康托尔对角线法“构造的s成为集合E的元素么？

我举个例子。如果我说集合F是全体自然数，\(f_{i}\)是集合F的元素，我用”康托尔对角线法”能不能构造一个自然数 s不等于所有\(e_i\left( i\in N\right)\) 呢？似乎可以吧。我能据此说s\(\notin N\)么？似乎不行吧？


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