从 n 个不同的球中有放回地每次抽取一个， 共抽取 m 次。有多少种不同的组合？

wufaxian

摘自《概率论》何书元p7

请看下图，红线部分我理解。这种01向量的计数方式确实可以与“有放回的取球的不同组合”形成一一对应。
但是蓝线部分我就不太理解了。假设我有1～5编号的五个球中有放回的抽取三个球。那么按照书中的方法将转化为“3个0，4个1”当中选3个元素\(C_{7}^{3 }\) =35。假设其中一种选出结果111，请问它对应哪一种7维01向量？

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luyuanhong

题  从 n 个不同的球中有放回地每次抽取一个， 共抽取 m 次。有多少种不同的组合？

解 下面这样的解法，也许更容易理解一些：

   因为每次抽球后仍放回，球是抽不完的，所以，也可以认为共有 n 种球，每种球都有无穷多个，

每次抽出的球都不用放回，m 次共抽出 m 个球，抽出的每种球都可以有重复，也可以一个也没有。

   将 m 个抽出来的球排成一列，然后在其中任意插入 n-1 块隔板，将 m 个球分隔成 n 段。

   分隔成的第一段表示抽到的是第一种球，第二段表示抽到的是第二种球，……，第 n 段表示

抽到的是第 n 种球。（两块隔板可以相邻，相邻的隔板中间没有球，表示这种球一个也没有抽到。）

    m 个球和 n-1 块隔板，一共是 m+n-1 个物体。任意插隔板的动作，又可以看作是先将 m+n-1 个

物体排成一列，然后在其中任意选择 m 个物体作为球，其余 n-1 个物体作为隔板。

   在 m+n-1 个物体中，任意选 m 个物体，有 C(m+n-1,m) 种不同的选法。所以，插隔板将 m 个球任意

分为 n 段，也有 C(m+n-1,m) 种不同的分法。也就是说，从 n 种不同的球中，任意取 m 个（每种球可以

有重复），共有 C(m+n-1,m) 种不同的组合。

   上面这种解法，通常称为“隔板法”。