间隙素数 拉马努金素数

yangchuanju

间隙素数  gap prime
间隙素数是素数中的一个小类，有2-gap prime, 3-gap prime, 4-gap prime，……n-gap prime等种，
设q是p后的下一个素数，在n*p和n*q之间如果没有素数，则p被称之为n-gap prime（n间隙素数）。
网页A080192给出10000个2间隙素数：
59, 71, 101, 107, 149, 263, 311, 347, 461, 499, 521, 569, 673, 757, 821, 823, 857, 881, 883, 907, 967, 977, 1009, 1061, 1091, 1093, 1151, 1213, 1279, 1283, 1297, 1301, 1319, 1433, 1487, 1489, 1493, 1549, 1571, 1597, 1619, 1667, 1697, 1721, 1787, 1871, 1873……
素数59的下一个素数是61，59*2=118，61*2=122，在118至122之间没有其它素数，故称59是一个2间隙素数；
同样71的下一个素数是73，71*2=142，73*2=146，在142至146之间没有其它素数，故称71也是一个2间隙素数。

网页A195270给出10000个3间隙素数：
71, 107, 137, 281, 347, 379, 443, 461, 557, 617, 641, 727, 809, 827, 853, 857, 991, 1031, 1049, 1091, 1093, 1289, 1297, 1319, 1433, 1489, 1579, 1607, 1613, 1697, 1747, 1787, 1867, 1871, 1877, 1931, 1987, 1997, 2027, 2237, 2269, 2309, 2377, 2381, 2473, 2591……
71的下一个素数是73，71*3=213，73*3=219，在213至219之间没有其它素数，故71是一个3间隙素数。

网页A218561给出4911个4间隙素数：
29, 71, 137, 197, 239, 269, 347, 419, 431, 641, 659, 809, 821, 1061, 1091, 1151, 1289, 1489, 1607, 1721, 1783, 1877, 1949, 1993, 2083, 2141, 2267, 2339, 2381, 2389, 2549, 2729, 2801, 2833, 2969, 2999, 3019, 3041, 3217, 3253, 3299, 3329, 3389, 3461……
29的下一个素数是31，29*4=116，31*4=124，在116至124之间没有其它素数，故称29是一个4间隙素数。

除了整倍数间隙素数外，还有半倍数间隙素数——
1.5倍A195271，2.5倍A195377，3.5倍A195379间隙素数。

yangchuanju

顶起来，再研究研究！

yangchuanju

【转发】准整数的拉马努金常数

拉马努金常数e^(π*163^0.5)
拉马努金常数出生名门：由最著名的两个超越数e、π婚生而成。
拉马努金常数是一个超越数（transcendental number），但该超越数有一个非常有趣的特性：
它是一个准整数（quasi integer），或者说几乎是一个整数（nearly an integer）。
为什么这么说呢？原因是因为它的值非常非常接近于一个整数（姑且名之为拉马努金常整数）。
拉马努金常数 = 262537412640768743.99999999999925007259719818568887935…
拉马努金常数与最近的整数262,537,412,640,768,744的差为：
-7.4992740280181431112065 × 10^-13
所以说，拉马努金常数与262,537,412,640,768,744数的相似度（百分比）为：
-2.856459181411769798203701800747089489039181990766183 × 10^-28%。
可以说，拉马努金常数几乎是一个整数。
拉马努金常整数（262,537,412,640,768,744）有一个特点，即它等于：
640320^3+744
拉马努金常整数
拉马努金常数似乎没什么diao用，但大多数情况下，有趣就够了。
碧山终日思无尽， 芳草何年恨即休？
神奇吧？

yangchuanju

拉马努金素数究竟是一类什么素数？
按照不同的分类方法，素数可分成多种类型，拉马努金素数是其中的一种。
若用pi(x)表示正整数x以内的素数个数（当x自身是素数，则含x在内），
则pi(x/2)就表示x/2以内的素数个数，x/2不一定再是整数，某个分数以内的素数个数是确定的；
在pi(x)与pi(x/2)之间的素数个数差（简称“素差”）也是确定的了。
给定一系列连续正整数x，对应一系列素数个数差；然后按照差由大到小排序，再找出其中的素数；
对应于素差等于1,2,3,4……时中的最大素数x就是拉马努金素数（A104272），由2,11，17,29，……直至无穷大；
对应于素差等于1,2,3,4……时中的最小素数x就是第二类拉马努金素数（A080359），由2,3,13,19，……直至无穷大。
还可收集整理出素差等于1,2,3,4……时的个数表，这个“个数表”中的数字是上下波动的。

将x/2改为0.25x或0.75x，亦可分别求出两种素数个数差，
对应于0.25x的素差等于1,2,3,4……时中的最大素数x（就叫它是0.25-拉马努金素数吧，由A193761给出）；
对应于0.75x的素差等于1,2,3,4……时中的最大素数x（就叫它是0.75-拉马努金素数吧，由A193880给出）。
可以想象，对应于0.25x或0.75x的素差等于1,2,3,4……时中也一定有最小素数存在，不再收集整理。

派生拉马努金素数
拉马努金素数中还有一种称为2-Ramanujan primes，3-Ramanujan primes，4-Ramanujan primes，
5-Ramanujan primes，……的拉马努金素数，即所谓的“派生拉马努金素数”，
含义是什么不详，好像是与pi(x)-pi(2x)-pi(3x)-pi(4x)-pi(5x)之间的素数个数差有关的素数列表。
可以肯定地说，对应于x/2至x之间的素数个数差——特定差对应的最大或最小素数都是确定的（拉马努金素数、第二类拉马努金素数），
那么对应于0.25x至x、0.75x至x之间的素数个数差都是确定的；
对应于x-2x-3x-4x-5x之间的素数个数差也都是确定的；
或者对应于x-2x,x-3x,x-4x,x-5x之间的素数个数差也都是确定的；
再加上最大素数、最小素数，开区间、闭区间之分，可形成一系列素数表。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-12-8 12:52
拉马努金素数与孪生素数息息相关，拉马努金素数中有相当多的素数是孪生素数：               
A007508-18        A181678-11        A1 ...

（重发扩增的表）
拉马努金素数与孪生素数息息相关，拉马努金素数中有相当多的素数是孪生素数：
A007508-18        A181671-17        A181678-11        A173081-11
10^n以内        10^n以内        10^n以内        10^n以内至少1个是
孪生素数        拉马努金素数        拉马努金孪生素数        拉马努金孪生素数
1 2        1 1        1 0        1 0
2 8        2 10        2 0        2 6
3 35        3 72        3 10        3 28
4 205        4 559        4 73        4 167
5 1224        5 4459        5 508        5 964
6 8169        6 36960        6 3468        6 6305
7 58980        7 316066        7 25629        7 45082
8 440312        8 2760321        8 194614        8 335919
9 3424506        9 24491666        9 1537504        9 2605867
10 27412679        10 220098288        10 12447679        10 20841010
11 224376048        11 1998400235        11 102834428        11 170395131
12 1870585220        12 18299775876               
13 15834664872        13 168773875190               
14 135780321665        14 1566017986235               
15 1177209242304        15 14606736768049               
16 10304195697298        16 136860923837558               
17 90948839353159        17 1287462389890262               
18 808675888577436                       

yangchuanju

伯特兰猜想与勒让德猜想
欧拉、拉马努金、伯特兰、勒让德都是有名的数论专家，题目在数论方面贡献非凡；
对他们的成果本文不做介绍，只谈一谈涉及伯特兰和勒让德的两个猜想。
伯特兰猜想：
2n/log(2n)<a(n)<4n/log(4n),对于n>=1，并且prime(2n<a(n<prime(4n),如果n>1。另外，a(n)~prime(2n)，n->无穷大。
式中a(n)是一个拉马努金素数，换言之，
在整数2n和4n之间必然有素数存在，或在n和2n之间必然有素数存在。
勒让德猜想：
在整数n^2和(n+1)^2之间必然有素数存在。
拉马努金证明了两个猜想。

请看壁纸的另一个帖子《伯特兰猜想与勒让德猜想》。

yangchuanju

网页《Ramanujan prime》给出了拉马努金素数的正规定义，
网址：https://planetmath.org/ramanujanprime

The n-th p is the smallest prime such that there are at least n primes between  x and 2x  for any x such that 2x>p.
So, given the prime counting function π(x), then for the n-th Ramanujan prime p it is always the case that π(2x)-π(x)≥n when 2x>p.
These primes arise from Srinivasa Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate. The first few are 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, listed in A104272 of Sloane’s OEIS.

For example, the third Ramanujan prime is 17. We can verify that there are three primes between 8.5005 and 17.001 (namely 11, 13, 17), that there are also three primes between 9 and 18 (the same as before), more than three primes between 10 and 20 (namely the prime quadruplet 11, 13, 17. 19), etc. Furthermore, we can verify that no prime smaller than 17 satisfies this condition by finding a single counterexample for the smaller primes, specifically setting x=7 we have 2x=14, which is greater than 2, 3, 5, 7, 11 and 13, and we verify that there are only two primes between 7 and 14 (namely 11 and 13).

译文错误多多，不再录发。

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拉马努金素数与孪生素数息息相关，拉马努金素数中有相当多的素数是孪生素数：               
A007508-18        A181678-11        A173081-11
10^n以内        10^n以内        10^n以内至少1个是
孪生素数        拉马努金孪生素数        拉马努金孪生素数
1 2        1 0        1 0
2 8        2 0        2 6
3 35        3 10        3 28
4 205        4 73        4 167
5 1224        5 508        5 964
6 8169        6 3468        6 6305
7 58980        7 25629        7 45082
8 440312        8 194614        8 335919
9 3424506        9 1537504        9 2605867
10 27412679        10 12447679        10 20841010
11 224376048        11 102834428        11 170395131
12 1870585220               
13 15834664872               
14 135780321665               
15 1177209242304               
16 10304195697298               
17 90948839353159               
18 808675888577436               

yangchuanju

拉马努金是印度的原文天才数学界，他短短的一生（33岁去世）广泛研究了数论中的多个课题，
给出了几千个数学公式，拉马努金素数只是其中的课题之一，
拉马努金素数在研究素数定理、孪生素数常数方面起了极大作用。
孪生素数常数，亦称“拉曼扭杨系数”，实际上拉曼纽扬是拉马努金名字的另一种翻译方式，
是同一位数学家名字的不同译名。

yangchuanju

A056171-10万        A000720-10万
pi(n) - pi(n/2)        pi(n)
1 0        1 0
2 1        2 1
3 2        3 2
4 1        4 2
5 2        5 3
6 1        6 3
7 2        7 4
8 2        8 4
9 2        9 4
10 1        10 4
11 2        11 5
12 2        12 5
13 3        13 6
14 2        14 6
15 2        15 6
16 2        16 6
17 3        17 7
18 3        18 7
19 4        19 8
20 4        20 8
21 4        21 8
22 3        22 8
23 4        23 9
24 4        24 9
25 4        25 9
21 4        26 9
22 3        27 9
23 4        28 9
24 4        29 10
25 4        30 10
31 5        31 11
32 5        32 11
33 5        33 11
34 4        34 11
35 4        35 11
36 4        36 11
37 5        37 12
38 4        38 12
39 4        39 12
40 4        40 12
41 5        41 13
42 5        42 13
43 6        43 14
44 6        44 14
45 6        45 14
46 5        46 14
47 6        47 15
48 6        48 15
49 6        49 15
50 6        50 15
51 6        51 15
52 6        52 15
53 7        53 16
54 7        54 16
55 7        55 16
56 7        56 16
57 7        57 16
58 6        58 16
59 7        59 17
60 7        60 17
61 8        61 18
62 7        62 18
63 7        63 18
64 7        64 18
65 7        65 18
66 7        66 18
67 8        67 19
68 8        68 19
69 8        69 19
70 8        70 19
71 9        71 20
72 9        72 20
73 10        73 21
74 9        74 21
75 9        75 21
76 9        76 21
77 9        77 21
78 9        78 21
79 10        79 22
80 10        80 22
81 10        81 22
82 9        82 22
83 10        83 23
84 10        84 23
85 10        85 23
86 9        86 23
87 9        87 23
88 9        88 23
89 10        89 24
90 10        90 24
91 10        91 24
92 10        92 24
93 10        93 24
94 9        94 24
95 9        95 24
96 9        96 24
97 10        97 25
98 10        98 25
99 10        99 25
100 10        100 25