间隙素数 拉马努金素数

yangchuanju

间隙素数  gap prime
间隙素数是素数中的一个小类，有2-gap prime, 3-gap prime, 4-gap prime，……n-gap prime等种，
设q是p后的下一个素数，在n*p和n*q之间如果没有素数，则p被称之为n-gap prime（n间隙素数）。
网页A080192给出10000个2间隙素数：
59, 71, 101, 107, 149, 263, 311, 347, 461, 499, 521, 569, 673, 757, 821, 823, 857, 881, 883, 907, 967, 977, 1009, 1061, 1091, 1093, 1151, 1213, 1279, 1283, 1297, 1301, 1319, 1433, 1487, 1489, 1493, 1549, 1571, 1597, 1619, 1667, 1697, 1721, 1787, 1871, 1873……
素数59的下一个素数是61，59*2=118，61*2=122，在118至122之间没有其它素数，故称59是一个2间隙素数；
同样71的下一个素数是73，71*2=142，73*2=146，在142至146之间没有其它素数，故称71也是一个2间隙素数。

网页A195270给出10000个3间隙素数：
71, 107, 137, 281, 347, 379, 443, 461, 557, 617, 641, 727, 809, 827, 853, 857, 991, 1031, 1049, 1091, 1093, 1289, 1297, 1319, 1433, 1489, 1579, 1607, 1613, 1697, 1747, 1787, 1867, 1871, 1877, 1931, 1987, 1997, 2027, 2237, 2269, 2309, 2377, 2381, 2473, 2591……
71的下一个素数是73，71*3=213，73*3=219，在213至219之间没有其它素数，故71是一个3间隙素数。

网页A218561给出4911个4间隙素数：
29, 71, 137, 197, 239, 269, 347, 419, 431, 641, 659, 809, 821, 1061, 1091, 1151, 1289, 1489, 1607, 1721, 1783, 1877, 1949, 1993, 2083, 2141, 2267, 2339, 2381, 2389, 2549, 2729, 2801, 2833, 2969, 2999, 3019, 3041, 3217, 3253, 3299, 3329, 3389, 3461……
29的下一个素数是31，29*4=116，31*4=124，在116至124之间没有其它素数，故称29是一个4间隙素数。

除了整倍数间隙素数外，还有半倍数间隙素数——
1.5倍A195271，2.5倍A195377，3.5倍A195379间隙素数。

yangchuanju

网页A195325给出169个最小的n间隙素数2,59,71,29,59,149,191,641，……
Least n-gap prime: a(n) = least prime p for which there is no prime between n*p and n*q, where q is the next prime after p.
最小 n 间隙素数：a(n) = 最小素数 p，其中 n*p 和 n*q 之间没有素数，其中 q 是 p 之后的下一个素数。
2, 59, 71, 29, 59, 149, 191, 641, 149, 347, 809, 461, 3371, 1487, 857, 1301, 1877, 5849, 4721, 9239, 4271, 1619, 1481, 20507, 20981, 32117, 13337, 19379, 24977, 48779, 20441, 25301, 5651, 37991, 17747, 43577, 176777, 145757, 191249, 84809, 150209, 11717……
素数2的下一个素数是3，在2至3之间没有其它素数，故2是一个1-gap prime(1间隙素数)；
素数59的下一个素数是61，59*2=118，61*2=122，在118至122之间没有其它素数，故称59是一个2间隙素数；
素数71的下一个素数是73，71*3=213，73*3=219，在213至219之间没有其它素数，故称71是一个3间隙素数；……

网页A195329给出35个A195325（最小的n倍间隙素数）中依次增大的间隙素数（间隙素数记录Records）2,59,71,149,191,641，……
2, 59, 71, 149, 191, 641, 809, 3371, 5849, 9239, 20507, 20981, 32117, 48779, 176777, 191249, 204509, 211061, 223679, 245129, 358877, 654161, 2342771, 3053291, 4297961, 4755347, 6750221, 8019509, 9750371, 10196759, 11237981, 23367077, 34910219, 93929219, 186635747

yangchuanju

细心的读者是否发现，在上述n倍间隙素数中，相当多的间隙素数都是孪生素数？
网页A195465的注释中说：这个猜想等同于A195325的所有项都是孪生素数中的较小项的猜想。
This conjecture is equivalent to the conjecture that all terms of A195325 are lessers of twin primes.

网页A195465给出52个在n倍间隙素数中的前部有连续的孪生小素数的个数，n>1时a(n)>0：
0, 5, 5, 17, 5, 6, 14, 6, 24, 75, 2, 4, 27, 11, 48, 50, 46, 9, 21, 7, 16, 137, 4, 55, 85, 14, 111, 24, 102, 291, 67, 89, 155, 180, 137, 330, 127, 413, 250, 241, 332, 619, 139, 234, 453, 929, 94, 160, 169, 22, 131, 434
第1个5——2倍间隙素数的前5个都是孪生素数的小素数（孪小素）；
第2个5——3倍间隙素数的前5个都是孪小素；
17——4倍间隙素数的前17个都是孪小素；
第3个5——5倍间隙素数的前5的都是孪小素；……

例4倍间隙素数列表——29, 71, 137, 197, 239, 269, 347, 419, 431, 641, 659, 809, 821, 1061, 1091, 1151, 1289, 1489, 1607, 1721, 1783, 1877, 1949, 1993, 2083, 2141, 2267, 2339, 2381, 2389, 2549, 2729, 2801, 2833, 2969, 2999, 3019, 3041, 3217, 3253, 3299, 3329, 3389, 3461
前17个都是孪小素，第18个1489虽然仍是孪生素数，但它是孪大素；第19-20个间隙素数又是孪小素；第21个间隙素数不是孪生素数；……

ysr

yangchuanju 发表于 2022-12-7 01:20
细心的读者是否发现，在上述n倍间隙素数中，相当多的间隙素数都是孪生素数？
网页A195465的注释中说：这个 ...

这种说法真不知道！

若相邻素数p2-p1>=2，则在p2+2与3*p2之间必有素数：
如61-59=2，则在63与3*61=183之间必有素数，实际素数是：
63~183之间的素数有24个：（用时0秒）
67  71  73  79  83  89  97  101  103  107
109  113  127  131  137  139  149  151  157  163
167  173  179  181  

ysr

ysr 发表于 2022-12-7 13:23
这种说法真不知道！

若素数p2-p1>=2，则在p2+2与3*p2之间必有素数：

由于5-3=2，则在5+2=7与3*5=15之间必有素数，实际素数是：
7，11，13.

7-5=2，则在9~21之间必有素数，实际是：
11，13，17，19.

ysr

89-83=6，而83和89是相邻素数，89*2=178，89*3=267.

91~178之间的素数有16个：（用时0秒）
97  101  103  107  109  113  127  131  137  139
149  151  157  163  167  173  

91~267之间的素数有32个：（用时0秒）
97  101  103  107  109  113  127  131  137  139
149  151  157  163  167  173  179  181  191  193
197  199  211  223  227  229  233  239  241  251
257  263  

ysr

195271~195279之间的素数有2个：（用时0秒）
195271  195277  

195277 *3=585831.

195279~585831之间的素数有30427个：（用时10.71094秒）
195281  195311  195319  195329  195341  195343  195353  195359  195389  195401

……
297083  297097  297113  297133  297151  297161  297169
后面还多呢

ysr

195271*1.5=292906.5，195277*1.5=292915.5.

292906~292915之间的素数有1个：（用时0秒）
292909

ysr

292915   -   292906 =9，

292906~293006之间的素数有7个：（用时0秒）
292909  292921  292933  292969  292973  292979  292993  

ysr

3461~3561之间的素数有16个：（用时0秒）
3461  3463  3467  3469  3491  3499  3511  3517  3527  3529
3533  3539  3541  3547  3557  3559  

3461*4=13844，3463*4=13852.
13844~13852之间的素数有0个：（用时0秒）

13744~13952之间的素数有23个：（用时0.0078125秒）
13751  13757  13759  13763  13781  13789  13799  13807  13829  13831
13841  13859  13873  13877  13879  13883  13901  13903  13907  13913
13921  13931  13933  
13852-13844=8，13859-13841=18.