怀尔德：数学文化的巨匠

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怀尔德：数学文化的巨匠

作者 | 刘鹏飞  徐乃楠  王  涛

1950 年，第 11 届国际数学家大会（ICM）在美国剑桥召开，这是第二次世界大战后国际数学家大会首度召开，参会正式代表有 1700 多人，是过去历次大会人数最多时的两倍。大会的主席是美国著名数学家维布伦（O. Veblen），受邀作大会报告的共有 22 人，包括冯·诺依曼（J. von Neumann）、维纳（N. Wiener）、嘉当（H. Cartan）、韦伊（A. Weil）、惠特尼（H. Whitney）、陈省身等当时最优秀的数学家。在这次会议上，陈省身作了《纤维丛的微分几何》（Differential Geometry of Fiber Bundles）报告，宣告了整体微分几何时代的来临。

在这 22 位大会邀请人当中，有一位数学家的报告显得与众不同，他报告的题目是“数学的文化基础”（The Cultural Basis of Mathematics）[1]。该报告旨在从文化的视角来理解数学这门学科，希望更关注作为文化元素的数学，以及它与根植其中的文化两者之间的联系。而给出这位报告的数学家，便是本文的主人公雷蒙德·路易斯·怀尔德（Raymond Louis Wilder，以下简称怀尔德）。怀尔德是美国著名的拓扑学家，他是美国科学院院士，并曾担任过美国数学会（AMS）和美国数学协会（MAA）的主席。更值得一提的是，怀尔德还是数学文化领域的一位巨匠。


怀尔德（1896-1982）

一、家世与求学

怀尔德于 1896 年 11 月 3 日出生于美国马萨诸塞州中西部的汉普登市（Hampden City）的帕尔默（Pilmer）。他的父亲约翰（John Louis Wilder）是个印刷工，母亲名叫 Mary Jane Shanley 。怀尔德少年时在当地求学，他喜爱音乐并曾在家庭舞会和聚会上演奏过短号。怀尔德在钢琴上的天赋极高，曾经受雇于当地电影院给无声电影伴奏。怀尔德一生从未远离对音乐创作的热爱，并时常沉迷于古典音乐[2]。



1914 年，怀尔德进入布朗大学学习，想要成为一名保险精算师，但美国参加第一次世界大战的事件中断了他的学业。一战期间，他作为一名少尉在美国海军服役（1917-1919）。战争结束后他回到布朗大学，并于 1920 年取得学士学位，然后留校任教，同时继续攻读研究生。1921 年，怀尔德又获得了保险精算数学的硕士学位。

就在这一年，怀尔德与格林（U. M. Greene）女士结婚，他们共同育有 4 个子女。随后，怀尔德决定去以保险精算数学闻名的德克萨斯州立大学奥斯汀分校，继续开展这方面的研究与教学。在德州大学奥斯汀分校，怀尔德就像一个本科生一样开始享受“纯数学”带来的乐趣。当时著名数学家莫尔（R. L. Moore）在奥斯汀分校主持了一个“位置分析”（Analysis Situs，即拓扑学）的讨论班，怀尔德对此十分着迷。

莫尔 1898 年进入德州大学奥斯汀分校学习，他自学微积分，仅用 3 年便获得了学士学位。毕业后莫尔曾教过一年高中，时任芝加哥大学数学系主任的 E. H. 莫尔（E. H. Moore）[3]听说他解决了一个希尔伯特几何公理化方面的问题，便邀请他来芝加哥大学攻读博士。1905 年，莫尔以“几何度量假设的集合”（Sets of Metrical Hypotheses for Geometry）为题获得博士学位，他的指导教师中还包括后来成为著名数学家的维布伦。

毕业后莫尔先后在田纳西大学、普林斯顿大学、西北大学和宾夕法尼亚大学任教。1920 年，莫尔回到德州大学奥斯汀分校，并于 1923 年晋升为教授。莫尔在拓扑学研究和人才培养方面成就卓著，仅在奥斯汀分校便培养了 47 个博士，他和他的追随者们被称为德州拓扑学派，与美国当时的普林斯顿拓扑学派交相辉映。1931 年，莫尔当选为美国国家科学院院士。1936 年至 1938 年，莫尔担任美国数学会（AMS）主席。为了纪念他的功绩，德州大学奥斯汀分校在 1973 年将物理、数学和天文学楼命名为莫尔楼。

怀尔德请求参加莫尔的位置分析讨论班，但却遭到了对方的质疑。“对精算数学感兴趣的人根本做不了拓扑，更不可能对此真正产生兴趣”，莫尔如是说道。即使在这样的质疑之下，怀尔德仍坚持要求参加，直到莫尔对怀尔德关于“什么是公理”的回答感到有一点惊讶之后，才准许他加入课程学习，但却一直对他视而不见。

莫尔培养博士的方式是从几个有限的公理和定义开始，然后给出命题，让参与者来寻求证明[4]，其中有些命题的难度非常大。当怀尔德证明了一个比较难的命题后，莫尔才开始注意到他。莫尔习惯于以作业为幌子，将一些未解决的数学难题发给学生。当怀尔德对于莫尔本人以及他在宾夕法尼亚大学的博士生、美国数学家克莱因（J. R. Kline）正在着手解决的一个关于连续曲线的数学问题[5]，给出了更为简洁的证明方案之后，莫尔邀请他赶紧将它写成博士学位论文，为此甚至打破了当年推荐博士奖学金的最后时限。

怀尔德于 1923 年 6 月完成博士论文答辩，论文题目是“关于连续曲线”（Concerning Continuous Curves），全文总计 62 页，答辩后在论文上签名的有 R. L.Moore 、H. J. Ettlinger 、A. A. Bennett 、H. Y. Benedict 和 M. B. Porter 。该文的精简版于 1925 年发表在波兰科学院数学研究所的杂志《基础数学》（Fundamenta Mathematicae）上[6]。

至此，怀尔德放弃了原先追求的保险精算事业，成为莫尔在德州大学奥斯汀分校培养的第一位拓扑学的博士，他们也因此成为挚友。怀尔德后来成为一名著名的拓扑学家，他是莫尔全部学生中成就最为卓越的。莫尔是这样评价怀尔德的：“在德州大学我所有获得博士学位的学生中，怀尔德博士是最优秀的一个。他确实表现出不寻常的学术产出能力，我认为他有特殊好的根本性兴趣去准备解决确定的数学问题[7]。”


怀尔德和莫尔参加美国科学促进会 1930 年年会

二、教学与荣誉

怀尔德在德州大学奥斯汀分校任教仅一年，便于第二年和家人一起搬到俄亥俄州立大学并担任助理教授。这一时期怀尔德经常给莫尔写信，讨论自己的研究和教学，以及如何不情愿在俄亥俄州立大学签署终生忠诚于国家政治与道德的宣誓。怀尔德对没有头脑的爱国主义之敌意，和对自由主义思想之渴望伴随了他的一生。

1926 年，怀尔德转到了密歇根大学，开始了在密歇根大学长达41年的执教生涯。1935 年，怀尔德晋升为教授。他培养的学生人数众多，共计培养了 26 个博士。怀尔德还非常善于发现和鼓励有潜质的人才，他在 20 世纪 30 年代对斯廷罗德（N. E. Steenrod）的代数拓扑领域非常感兴趣。在怀尔德的指导下，斯廷罗德开始了他的第一次研究。当斯廷罗德完成他本科训练后，他返回俄亥俄州立大学工作了一年半，然后在怀尔德的安排下进入哈佛大学，之后又到普林斯顿追随数学家莱夫谢茨（S. Lefschetz）学习代数拓扑。


数学家哈尔莫斯 1964 年拍摄的怀尔德与罗伯特·里奇

怀尔德还曾设法在密歇根为年轻的波兰拓扑学家艾伦伯格（S. Eilenberg）找到容身之地，那时有一些人对此还很反对。艾伦伯格和斯廷罗德的著名合作始于怀尔德为斯廷罗德在密歇根谋到教职之时，他们二人合作完成了同调论的公理化[8]。艾伦伯格也得以有机会与麦克莱恩（S. Mac Lane）合作公理化同调代数，并进而创立了范畴论[9]。怀尔德甚至影响了著名数学家斯梅尔（S. Smale）以及数学教育改革家贝格尔（E. G. Begle）等名人。


数学家哈尔莫斯 1960 年为怀尔德拍的照片

在密歇根大学，怀尔德开设了《数学基础》的课程，这门课内容非常广泛，不仅仅局限于数学，因而成为密歇根大学校园里最为流行的课程。学生们从中学到了数学概念的发展史，以及数学是文化的重要组成部分。课程的听众非常多元化，学生们经常能在他的课后获得教益。他的学生雷蒙德（F. Raymond）曾评价：“在我所知道的所有伟大数学家中，怀尔德是最平易近人的。他有一种幽默感，他的智慧使许多同事将他奉为神父一样。他和妻子尤娜一起把他们家变成一个好客的去处。我的孩子始终称呼他们怀尔德爷爷和怀尔德奶奶。每年在圣诞节，怀尔德太太仍然为我们的孩子们做袜子挂在烟囱，这样做已经有三十多年了[10]。”

怀尔德在密歇根大学的发展中发挥了非常积极的作用。1927 年，他和数学家阮里希（G. Y. Rainich）创办了一个有点神秘的研究俱乐部，名为“小俱乐部”（The Small Club）。他们认为，每月才会面一次的学院大俱乐部（Large Club）在研究兴趣的发展上并没有取得很大的成效。小俱乐部的成员在每周二晚上会面，每次由俱乐部成员提交一篇科学论文。这些论文通常是成员自己的研究领域，但有时也可能是关于一个新数学成果的重要报告。起初成员有 8 名来自数学系，1 名来自哲学系，3 名来自物理学系。后来，其他有兴趣的研究人员，包括一些研究生也被邀请加入。


数学家哈尔莫斯 1958 年为怀尔德拍的照片

1947 年，怀尔德晋升为研究教授，他是密歇根大学第一个数学研究教授、第一个大学研究主席（1947-1967）。在怀尔德的带领下，密歇根大学数学系成为世界一流的数学中心。由于怀尔德在学校展现出了知识分子真正的影响力，因而备受校方敬仰。1959 年，密歇根大学授予他“Henry Russel Lecturer”，这是密歇根大学授予教工的最高荣誉。1975 年，密歇根大学又为他创立了“怀尔德数学教授奖金”。

怀尔德还参与创办了《密歇根数学杂志》（The Michigan Mathematical Journal）。为了纪念怀尔德在拓扑学上的贡献，1966 年 3 月 17-19 日在密歇根大学召开了专门的学术会议，以纪念怀尔德 70 岁生日，会议的全部学术论文发表在 1967 年度《密歇根数学杂志》的第 2 期和第 3 期上。为纪念他 80 岁生日，1977 年 7 月 25-29 日在圣巴巴拉召开了“代数几何与代数拓扑国际学术会议”，并出版了会议文集[11]。


怀尔德 1961 年与数学史家凯尼斯·梅一起在会议中

三、业绩与贡献

怀尔德一生的学术研究工作主要集中在两个大方面，一是纯粹数学的拓扑学研究；二是对数学文化领域的思考。无论哪一方面的工作，都为怀尔德换来了世界级的学术声誉。

在拓扑学的研究上，怀尔德取得了杰出的成就，当选为美国科学院院士、AMS 和 MAA 的双料主席就可见一斑。他还曾是 1933 年组建的普林斯顿大学高等研究院成员（1933-1934）。[12]他是莫尔领导的德州拓扑学派中重要一员，与诸多拓扑名家一起从事过研究，由他领导的密歇根拓扑学派在美国非常知名。怀尔德一生共发表论著百余篇，其中拓扑学占据了一半以上。


怀尔德 1946 年在普林斯顿周年纪念大会

（图片来源：DUREN P. A century of mathematics in Americanart II[M]. New York:American Mathematical Society, 1989: 332—333. 第三排左二为怀尔德；第一排左八为黎斯、左九为莱夫谢兹、左十为维布伦、右一为华罗庚；第二排左五为哥德尔、左十为艾伦伯格、左十二为维纳；第二三排间右五为冯·诺依曼；第三排右五为麦克莱恩；第四排右四为赫尔曼·外尔；最后一排左六为斯汀罗德、右二为贝格尔、右七为埃米尔·阿廷。）

按照时间划分，怀尔德的拓扑学研究大致可以分为两个时期。第一个时期为 1924-1930 年，这一时期他主要沿着他的博士导师莫尔开创的路线研究点集拓扑，致力于连续曲线与连续理论的研究。第二个时期为 1930-1950 年，怀尔德主要研究高维拓扑与流形的拓扑理论[13]，他给出了球面的拓扑刻画，若尔当—布劳威尔定理的存在性以及广义流形的理论。

从 1924 年开始，怀尔德对集合的连续体、连通性等问题进行了细致的研究。那时正是点集拓扑大行其道的时代，当今的拓扑学者已经很难明白为何那时的数学家对一些奇怪的集合感兴趣。在博士论文中，怀尔德证明一个紧的连续体局部连通当且仅当一个开集的连通分支强连通[14]。1928 年，怀尔德证明对于 m 维欧氏空间 Em 的子集两点之间不可约连通，如果其局部连通则弧连通[15]。1931 年，怀尔德又证明对于连续体 M ，a,b∈M ，并且对于每个分离 a 和 b 的 p∈M-[a,b] ，则 M 弧连通[16]。

1932 年，怀尔德在芝加哥作了美国数学会的研讨会报告。当时美国有两个大的拓扑学派，一个是莫尔开创的德州点集拓扑学派，另一个是普林斯顿的组合拓扑学派。怀尔德逐渐从点集拓扑学派“脱离”。在这次报告中，他通过将集合论与组合拓扑的方法结合，将平面上的一些定理推广到 n 维空间，展示了如何在高维空间中使用同调论。不仅如此，他还意识到了两个学派各自的不足，这在当时是非常难得的。



1942 年，怀尔德在美国数学会上作了讲座，由于第二次世界大战的爆发，他的报告直到 1949 年才以《流形的拓扑》为题出版[17]。怀尔德在这本著作中的主要目标是将舍恩弗里斯定理推广到高维[18]，他的主要工具是同调论。他用 n 维广义流形代替 M ，K 为满足特定连通与局部连通性质的闭集合。在一些情形中，K 本身即为一个低维流形。《流形的拓扑》包含了怀尔德前期大量未发表的研究，并将此前他的一系列已发表的研究进行了推广，可以看作是 20 世纪 50 年代之前怀尔德拓扑学研究的自我总结，是一部集大成之作[19]。在这部著作中，怀尔德关于点集拓扑与组合拓扑统一性的思想体现地淋漓尽致。

在数学基础研究方面，1944 年怀尔德在《美国数学月刊》发表了“数学证明的本质”一文，是他最早在以往的纯粹拓扑学研究之外，开始思考数学基础问题的文章。通过查阅德州大学奥斯汀分校“多尔夫·布里斯科美国史中心”保存的怀尔德手稿等文献资料，可以发现怀尔德的一个关于对数学基础和相关内容注记的笔记本（没标记具体年限），笔记本内部贴有希尔伯特（D. Hilbert）在德国《数学年刊》上的两篇文章内容剪纸，分别为“公理化思想”[20]和“数学的逻辑基础”[21]文中的部分内容，尤其是希尔伯特说的原话，怀尔德在贴纸间隙用英文手写了一句话：“What is nature of proof this？”[22]，可见，他是在梳理 20 世纪初数学基础三大流派之间的争论而开始了对数学基础的哲学思考。在怀尔德看来，“数学证明仅仅是对那些我们通过直觉提出之问题的检验过程”[23]。



怀尔德于 1952 年出版了《数学基础简介》一书，按照他自己在序言里面所强调的，这是他在密歇根大学数学系所上的“数学基础”课程二十多年的成果，这门课程不是为了本科数学专业从事教师、保险精算师和统计学家准备的，而是为那些将来离开大学后打算终身从事数学研究的人，而他们又缺少现代数学知识和数学基础理论的人。这门课程对他们的训练主要是经典数学及其应用，主要还是 20 世纪以前的数学部分，尤其是康托（G. Cantor）集合论思想方法之前的数学。全书包含两大部分，第一部分是数学的基本概念与方法，包括公理化方法、集合论、无穷集、良序集与序数、线性连续与实数系统、群论及其对数学基础的重要性。第二部分是数学基础问题各类观点的发展，包括数学基础问题的早期发展、弗雷格与罗素的形式逻辑、直觉主义、形式系统与数理逻辑、数学的文化背景。可以说，怀尔德正是在这门课程的教学过程中形成了对数学基础问题的哲学思考[24]。

1952 年 12 月 29 日美国数学会在密苏里州圣路易斯举办专题学术会，怀尔德发表了卸任专题委员会副主席的一个演讲，题目为“数学概念的进化与增长”，他认为数学家们最重要的是维持一套标准和传统，使我们能够维护我们称之为数学的连续增长。怀尔德的动机是想在个人层面上探讨数学概念的起源方式，并研究那些促进数学概念形成和影响其成长的因素。他以数与几何、解析几何、微积分、曲线等概念为案例，讨论了数学概念的进化历程，尤其还为曲线到拓扑学的进化历程画了历史思维导图。通过这些案例讨论了概念形成的影响因素、概念的生命周期。怀尔德坚信数学发展的进化特征。数学概念是不稳定的，即使它们的崭露头角是离散事件，它们也会不断增长。与任何进化过程一样，数学概念进化过程中的环境影响不容忽视。正如个体数学家不是在真空中工作，并受到他的前人和同事工作的影响一样，数学本身也不是在真空中进化的[25]。

总之，怀尔德坚信：数学是现代社会重要的文化组成部分，数学不会独立于文化因素而发展，从人类学的观点把数学作为一个文化子系统研究是非常必要的。1968 年，怀尔德出版了《数学概念的进化：一个初步的研究》一书[26]，系统介绍了文化的概念，数学作为一种文化的思想。详细讨论了数的进化、几何的进化、影响数学进化的力量、数学进化的规律与过程。总之，怀尔德认为“数学是一种不断进化的文化现象”。



1981 年，怀尔德出版了《数学作为一种文化体系》一书。为了阐述数学作为一种文化体系，他利用图形表示数学结构，即所谓的“数学之树”。数学可以被表示为树形的布局，它的根是数学基础，它的枝干代表数学的各种子领域。在那里，图论这样的子领域从它的母体拓扑学分离出来，则相应的表示为树的一个枝条从代表拓扑的大枝条长出来。数学就是按照这样的历史生长起来——代数和几何是不同的树枝，公理体系和逻辑表示为根。他这里是仿照人类学家怀特将文化表示为一个文化体系或其分支的理论，认为“数学是我们一般文化的子文化”，将其表示为一棵树、一个向量系统。从而，几何构成一个向量，代数构成另一个向量，拓扑又是一个，如此等等。或者我们可以将我们的向量系统基于“数学评论”杂志给出的学科分类。向量系统中的数学，其中每一个向量都力求进一步的成长，不同的向量互相撞击，通过将想法扩散到其它向量而为其提供帮助，有时会导致新的融合，从而因其自身优越性而成为新的向量。数学基础这一向量不再是从属性的树根，而是其它向量中的一个，它以与其它向量完全相同的方式运转[27]。

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四、结语

怀尔德晚年对自己的工作进行了回顾与反思。在《现代科学家与工程师》所写的一页半的自传中[28]，怀尔德论述了从经典的若尔当曲线定理（1887）开始的拓扑学史，阐述了自己如何将平面曲线拓扑学推广到高维情形，如何统一了点集拓扑学与代数拓扑学，这些重要的结果都收录在他的《流形的拓扑》一书中。他还谈到自己 1952 年出版的“数学基础简介”的讲义，把自己引向了数学概念进化和数学文化哲学的研究领域。

1972 年 3 月 11 日，怀尔德在加州理工学院举办的美国数学协会午餐会上作了“回顾与反思”的演讲[29]。怀尔德强调，他一直试图在课程教学的过程中向学生们传达一些关于数学是如何被创造出来的，而创造者和他们一样是人类的想法。他回顾自己学习数学的年代，美国数学甚至世界数学普遍处于一个低谷的时期，主要是数学没有什么“应用”。当时很少有人意识到抽象和更一般的数学概念可能会被证明在 50 年后科学中的重要性。他在演讲中提到爱因斯坦对基础数学有很高的评价，并强调自己经常引用爱因斯坦的陈述：“公理化所带来的进步在于逻辑形式和直观的内容……对于这一几何解释，我非常重视，因为如果我不熟悉它，我将永远无法发展相对论。”

怀尔德是著名的拓扑学家，更是数学文化领域的一位少有的巨匠。他将数学视为一种文化体系，被认为是从 1931 年以来第一个成熟的数学哲学观[30]，《数学作为一种文化体系》则被誉为“数学哲学人文主义转向”的标志性著作[31]。怀尔德的数学文化理念、数学文化哲学，对当今中国数学教育的人文主义倾向以及数学文化研究、教学与传播的兴起影响深远。可以说，怀尔德是世界范围内当之无愧的“数学文化”巨匠和奠基性人物。



作者简介：

刘鹏飞，长春师范大学教授，曾任吉林师范大学数学学院院长；中国数学会数学史分会常务理事。

徐乃楠，吉林师范大学数学学院教授；中国数学会数学史分会理事。

王涛，中国科学院自然科学史研究所副研究员，中国数学会数学史分会理事。

注释：

[1] Wilder, R. L. The Cultural Basis of Mathematics. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Cambridge, MA: Vol 1, 1950:258-271. 注：中文可参见肖运鸿译，数学的文化基础，《科学文化评论》，2015 年第 2 期：20-33。

[2]Raymond, F. Raymond Louis Wilder 1896-1982. In: National Academy of Sciences Biographical Memoirs, Volume 82, The National Academy Press, Washington, D. C. 2002. http://www.nasonline.org/publica ... /wilder-raymond.pdf

[3]注：两人虽然都姓莫尔但彼此之间并没有任何亲属关系。

[4]Burton, J. F. The Moore method, American Mathematical Monthly, 1977, 84: 273-77.

[5]也即下述论文：Moore, R. L. On the foundations of plane analysis situs. Trans. Amer. Math. Soc, Vol. 17, 1916, 131-164.中的第15个定理.

[6]Wilder, R. L. Concerning continuous curves. Fund. Math. 7(1925), 340–377.

[7]Whyburn, L. R. L. Moore's First Doctoral Student At Texax. In: Millett, K. C. Algebraic and Geometric Topology: Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder, July 25-29, 1977. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1978, 33.

[8]Eilenberg, S. , Steenrod, N. E. Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 1945. 31, 117--120.

[9]Eilenberg, S. , Mac Lane, S. Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, 1945,46: 480–509.

[10]Raymond, F. Raymond Louis Wilder 1896-1982. In: National Academy of Sciences Biographical Memoirs, Volume 82, The National Academy Press, Washington, D. C. 2002. http://www.nasonline.org/publica ... /wilder-raymond.pdf

[11]Millett, K. C. Algebraic and Geometric Topology: Proceedings of a Symposium held at Santa Barbara in honor of Raymond L. Wilder, July 25-29, 1977. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1978.

[12]详见普林斯顿大学高等研究院网站介绍：https://www.ias.edu/scholars/raymond-louis-wilder

[13]Raymond Louis Wilder, McGraw-Hill Modern Scientists and Engineers, vol. 3, 1980, 318-319.

[14]Wilder, R. L.Concerning continuous curves. Fund. Math., 1925, 7: 340–377.

[15]Wilder, R. L. A Connected and Regular Point Set Which has no Subcontinuum. Trans. Amer. Math. Soc., 1927, 29: 332-340.

[16]Wilder, R. L. On connected and regular point sets. Bull. Amer. Math. Soc., 1928, 34: 649-655.

[17]Wilder, R. L. Topology of manifolds. Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. vol 32, 1949.

[18]Eilenberg, S. Book Review: Topology of manifolds. Bull. Amer. Math. Soc., 1950, 56: 75-77.  

[19]Begle E G. Review of Topology of Manifolds by Wilder, Raymond Louis, MR0029491. http://www.ams.org/mathscinet/pdf/10526.pdf

[20]Hilbert, D.Axiomatisches Denken. Math. Ann. 78, 1922, 405-415.

[21]Hilbert, D. Die logischen Grundlagen der Mathematik. Math. Ann. 88, 1922, 151-165.

[22]History and foundations of mathematics. Research notes. Raymond Louis Wilder Papers, 1914-1982, Archives of American Mathematics, Dolph Briscoe Center for American History, University of Texas at Austin. Box 86-36/23.

[23]Wilder, R. L. The nature of mathematical proof. Amer. Math. Monthly. 51(1944), 309-323. 注：这是怀尔德 1943 年 11 月 28 日在芝加哥举办的美国数学协会会议上的邀请演讲，应论文出版编辑的要求，他在文后以附录的方式对其中涉及到的完全集、序集、良序集、连续统假设等数学概念给出了详细的注释。

[24]Wilder, R. L. Introduction to the Foundations of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc.1952.

[25]Wilder, R. L. The origin and growth of mathematical concepts. Bull. Amer. Math. Soc. 59, 1953, 423-448.

[26]Wilder, R. L. Evolution of Mathematical Concepts, An Elementary Study. New York: Wiley & Sons, Inc.,1968.

[27]Wilder, R. L. Mathematics as a Cultural System. New York: Peragmon Press, 1981: 1-20.

[28]"Raymond Louis Wilder," McGraw-Hill Modern Scientists and Engineers, vol. 3, 1980, 318-319.

[29]Wilder, R. L. Recollections and Reflections. Math. Mag. 46(1973), 177-182.

[30]Smorynski, C. Mathematics as a cultural system, The Mathematical Intelligencer, 1983, 5(1): 9-15. 中文可参见：蔡克聚译，数学——一种文化体系，《数学译林》，1988，（3）：47-48.

[31]Hersh, R. What is mathematics, really? Oxford University Press,1997.