【转贴】已知对任何实数 x ，都有 f(f(x))=x^2-x+1 ，求 f(0)

elim

U管趣题：巳知 \(f(f(x))=x^2-x+1\), 求 \(f(0).\)

elim

题：巳知 \(f(f(x))=x^2-x+1\), 求 \(f(0).\)
解：将\(x=0,\,1\) 代入已知函数方程得：
\((1)\qquad f(f(0))=f(f(1))=1.\) 于是
\(\quad\qquad f(1)=f(f(f(1)))=f^2(1)-f(1)+1,\;(f(1)-1)^2=0,\) 即
\((2)\qquad f(1)=1.\) 进而 \(1=f(1)\overset{(1)}{=}f(f(f(0)))=f^2(0)-f(0)+1,\)即
\((3)\qquad (f(0)-1)f(0)=0.\)
\(\qquad\quad\)若\(f(0)=0,\)则 \(0=f(0)=f(f(0))=0^2-0+1=1,\) 矛盾！所以
\((4)\qquad f(0)\overset{(3)}{=}1.\quad\square\)

注记：我们并没有证明满足所论函数方程的函数 \(f(x)\)的存在性。
            从所论函数方程解出函数的问题应该也很有趣。

elim

U管上这一题有两个小视频．一个称该题为美国奥数题．欢迎各位分享解法．

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。

下面是我过去在《数学中国》上对此题的解答（基本上大同小异）：