拓扑学中的稠密究竟是什么含义？

wufaxian

《普林斯顿数学分析读本》P91
设 E 是度量空间 X 的一个子集．如果 X 的每一点均属于 E 或是 E 的极 限点，那么 E 在 X 中是稠密的．

用符号来表示，即如果

\(\forall\)x ∈ X, x ∈ E 或 x 是 E 的极限点，

那么 E \(\subset\) X 在 X 中是稠密的．


《拓扑学》J. R.M unkres p146
定义：空间 X 的子集 A 称为在 X 中是稠密的 (dense),如果 \(\overline{A }\)=X.

以上两个定义是等价的

《实变函数与泛函分析基础》第四版程其襄p31


第三个定义与前两个版本有很大不同。如果按照前两个版本的定义，那么F中的元素要么是集合E中的点！要么是集合E的聚点！但是第三个定义中并不做这样的要求，只需要E点与F中点的邻域相交非空就可以了。那么究竟应该以哪个定义为准？

以下图为例，假设集合F=\(R^{2}\)  E是\(R^{2}\) 的子集。那么F中的任意点无论距离集合E远近（以图中a，b，c三点为代表），它们的邻域都可以做到与E交非空。因此符合《实变函数与泛函分析基础》第四版程其襄p31的稠密的定义。可以说E在F中稠密。

但是如果按照前两版的稠密定义。F中的“任意”点必须属于E或者是E的极限点。明显图中的a，b点既不属于E，也不是E的极限点。因此不能说E在F中稠密！