风筝四边形中的线段长度比例关系

天山草

上面左图是一个完全四边形的图形。在完全四边形的基础上再增加两条线，就成为右图所示的图形。此图像风筝的形状，暂且定义为风筝四边形。

对于完全四边形中的线段长度比例关系，有梅涅劳斯定理。这个定理说的是其中某六段线段长度组成了三个比例式，它们相乘的结果恰好等于 1。这种比例式有多个。为了正确的写出这些比例式，建议参看 2# 楼所说的记忆方法。也可参看本人 2009 年的帖子【梅涅劳斯定理新解】，见网址http://www.mathchina.com/bbs/for ... 8%C0%ED%D0%C2%BD%E2


本帖要说的是，上述那种记忆方法也可以推广到风筝四边形中去。

例如，对于【风筝四边形】，可以写出以下比例式：



以上这些等式的证明见 3# 楼。

天山草

上面这些等式是如何写出来的？ 怎样保证这些等式不会写错呢？
这些等式都符合一个共同的规律，这个规律非常好记。图中有六条线段，有七个交点。把六条线段想象成六条公路，把七个交点想象成公路边的七座小城市。
    假定你在其中的一个城市居住。现在你从居住城市开车出发，按照走过三条公路周游包括自己城市在内的六个城市后（有一个城市没有去），再回到你的居住城市。游历路线可以有许多种，但必须遵守一个规律，就是车子每开上一条公路，必须游历完位于这条公路上的三个城市（可以再次到达某个城市，但开车经过的城市不算游历过）。
    比如你在城市 A 居住，可以选择 A→F→B→D→C→E→A的路线。这样就得到了三个比例式相乘：\(\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\)，相乘结果就是 1。
    在上面的比例式中，如果把代表每段直线的两个字母看成是两个独立的变量，那么分子、分母中相同的字母就可“约去”，“相约”的结果就是 1。如果“约”不干净，那比例式就是写错了。
    再举一例，假如你住在 D 城市，你可以选择 D→B→C→F→P→A→D 路线，这样就有 \(\frac{DB}{BC}\frac{CF}{FP}\frac{PA}{AD}=1\)。你也可以选择 D→P→A→E→C→B→D 路线，这样就有 \(\frac{DP}{PA}\frac{AE}{EC}\frac{CB}{BD}=1\)。你能不能从 D 出发，选择走 D→A→P→\(\cdots\) 呢？也是可以的，但是 AP 公路要多走一次才能回到起点 D。具体说就是 D→A→P→B→E→C→A→P→D，这时有四个比例式相乘：\(\frac{DA}{AP}\frac{PB}{BE}\frac{EC}{CA}\frac{AP}{PD}=1\)，可以看出，这时分子中的 AP 与分母中的 AP 能互相抵消，又因 \(DA=AD\)，所以结果等同于 \(\frac{PB}{BE}\frac{EC}{CA}\frac{AD}{PD}=1\)，也就是从 P 点出发的一条路线。

这种记忆方法当然也适用于完全四边形。也就是梅涅劳斯定理的记忆方法。

天山草

下面用复平面解析几何的方法来证明 1# 楼中的那些比例式。

用 mathematica 写的证明程序如下：



程序运行结果：