ΔDEF内接于ΔABC且二者相似，过A直线交圆ADB,ADC于P,Q，PF,QE交于R，证：DEFR共圆

天山草

天山草

解题思路：



用 mathematica 写的程序：



程序运行的结果：

creasson

creasson

天山草

研究了一下 creasson 先生的构图作法，很不错。下面用 creasson 的构图和思路，使用 denglongshan 的复斜率方法，做此题如下。



用 mathematica 编写的程序：



程序运行结果：



注： 不需要求出 R 点的坐标，因为只须知道 QE 和 PF 两直线的复斜率，这两条直线的交角 ∠PQR 就可求出。这是  denglongshan 复斜率法解决角度问题的一个利器。


程序代码：

1. Clear["Global`*"];
   
2. 
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = 0;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d = 1; b = (1 + I s )/( 1 - I t );
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = (1 - I s )/(1 + I t ); c = ( 1 + I u )/(1 - I z );
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = (1 - I u )/(1 + I z ); p = (1 + I s )/(1 - I w );
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = (1 - I s )/(1 + I w ); q = ( 1 + I u )/(1 - I v );
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = (1 - I u )/(1 + I v );
   
9. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));
   
10. W1 = {z} /. Simplify@Solve[{k[b, d] == k[d, c]}, {z}] // Factor // Flatten;
    
11. z = Part[W1, 1]; c = (1 + I u )/(1 - I z );
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = (1 - I u )/(1 + I z );
    
13. W2 = {v} /. Simplify@Solve[{k[p, a] == k[a, q]}, {v}] // Factor // Flatten;
    
14. v = Part[W2, 1]; Print["z = ", Part[W1, 1], "，   v = ", Part[W2, 1]];
    
15. q = Factor[(1 + I u )/(1 - I v )]; \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = Factor[(1 - I u )/(1 + I v )];
    
16. W = {e, f, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\), \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)} /.  Simplify@
    
17.       Solve[{k[c, d]/k[e, c] == k[e, d]/k[e, f] == k[c, b]/k[c, a], k[a, e]/k[a, f] == k[d, f]/k[d, e] == k[a, c]/k[a, b]}, {e, f, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\), \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)}] // Factor // Flatten;
    
18. e = Part[W, 1];  f = Part[W, 2];
    
19. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part[W, 3];  \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Part[W, 4];
    
20. Print["A = ", a, "， B = ", b, "， C = ", c, "， D = ", d, "， E = ", e, "， F = ", f, "， P = ", p, "， Q = ", q];
    
21. Print["\!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \[ImaginaryI]\\[Angle]EDF\)]\) = ", Simplify[k[d, f]/k[d, e]],
    
22.   "，   \!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \[ImaginaryI]\\[Angle]PRQ\)]\) = ", Simplify[k[p, f]/k[q, e]]];
    
23. Print["由于 \!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \\[ImaginaryI]\[Angle]EDF\)]\) = \
    
24. \!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \\[ImaginaryI]\[Angle]PRQ\)]\)，所以 \[Angle]EDF = \[Angle]PRQ，故 DEFR \
    
25. 四点共圆。"];
    

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证明总是用软件解答？

denglongshan

能否从答案中找出画△DEF的方法

denglongshan

denglongshan 发表于 2023-2-24 19:32
能否从答案中找出画△DEF的方法

这种高精度是用根据数值画出来的吗