在 ΔABC 中，求证：[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2≥1

波斯猫猫

在 ΔABC 中，求证：[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2 ≥ 1.

shuxuestar

三角形中，角A,B,C<180度，tan(A／2），tan(B／2），tan(C／2）>0

[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2>=3(tan(A／2)tan(B／2)tan(C／2))^2/3

三者相等时，A=B=C=60度, 得右式最小值 3*( (sqrt3/3)^3)^2/3=1

[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2>=1.

波斯猫猫

shuxuestar 发表于 2023-3-16 00:19
三角形中，角A,B,C0

[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2>=3(tan(A／2)tan(B／2)tan(C／2))^2/3
...

三角形三边 a,b,c 之和为 3， 求证a^2+b^2+c^2+4abc/3≥13/3 。
证：∵a+b+c=3，a，b，c∈R+，
      ∴a^2+b^2+c^2+4abc/3≥3(abc)^(2/3)+4abc/3=13/3（当且仅当a=b=c=1时等号成立）。
      即，a^2+b^2+c^2+4abc/3≥13/3 。

注：这个证明靠谱吗？

波斯猫猫

发表于 2022-7-29 18:32 | 只看该作者
题：三角形三边 a,b,c 之和为 3，求 a^2+b^2+c^2+4abc/3 的最小值。

思路：设三角形的面积为t，则由海伦公式易得t^2/p=(p-a)(p-b)(p-c)≤(3p-a-b-c)^3/27，

=p^3/27(p=3/2)，即t^2≤3/16（仅当a=b=c=1时等号成立）。

把t^2/p=(p-a)(p-b)(p-c)变形整理得，4abc/3=2(ab+bc+ca)-8t^2/9-9/2，

故a^2+b^2+c^2+4abc/3 =a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)-8t^2/9-9/2

=(a+b+c)^2-8t^2/9-9/2=9/2-8t^2/9≥13/3。

注：海伦公式在这里起到了关键性的作用，使问题得以用面积转化。

楼上的解答很好！已收藏。

shuxuestar

波斯猫猫 发表于 2023-3-16 12:27
三角形三边 a,b,c 之和为 3， 求证a^2+b^2+c^2+4abc/3≥13/3 。
证：∵a+b+c=3，a，b，c∈R+，
       ...

当a，b，c有限, 可能导致等式不成立的条件下，几何平均不等式不成立...............

shuxuestar

正数abc和为3（属于受限情况），你怎么就知道a，b，c=1？  

不等式证明勉勉强强过的去，只要等式可以成立，可以应用。

a+b+c>=3（abc）^1/3， a=b=c=1,  1+1+1=3*1 ,

3>=3  ?  

波斯猫猫

在 ΔABC 中，求证：[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2≥1.

证： ΔABC 中，因tan(A／2)=tan[(π-B-C)/2]=cot[(B+C)/2]

=[1-tan(B／2)tan(C／2)]/[tan(B／2)+tan(C／2)]，

故tan(A／2)tan(B／2)+tan(B／2)tan(C／2)+tan(C／2)tan(A／2)=1.

2[tan(A／2)]^2+2[tan(B／2)]^2+2[tan(C／2)]^2

=[tan(A／2)-tan(B／2)]^2+[tan(B／2)-tan(C／2)]^2+[tan(C／2)-tan(A／2)]^2 +2≥2，

即，[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2≥1（仅当A=B=C=60°时，等号成立）.

波斯猫猫

证： ΔABC 中，因tan(A／2)=tan[(π-B-C)/2]=cot[(B+C)/2]

=[1-tan(B／2)tan(C／2)]/[tan(B／2)+tan(C／2)]，

故tan(A／2)tan(B／2)+tan(B／2)tan(C／2)+tan(C／2)tan(A／2)=1.

显然，[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2≥2tan(A／2)tan(B／2)，

[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2≥2tan(B／2)tan(C／2)，

[tan(C／2)]^2+[tan(A／2)]^2≥2tan(C／2)tan(A／2)（仅当A=B=C=60°时，等号成立），

三式相加得，2[tan(A／2)]^2+2[tan(B／2)]^2+2[tan(C／2)]^2

≥2tan(A／2)tan(B／2)+2tan(B／2)tan(C／2)+2tan(C／2)tan(A／2)，

即，[tan(A／2)]^2+[tan(B／2)]^2+[tan(C／2)]^2≥1（仅当A=B=C=60°时，等号成立）.

luyuanhong

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shuxuestar

不等式问题，只要最小值保证成立是可以应用的，只要不只是等式，>=这个结论成立的..........

几何平均不等式公式（数个正数的和，数可以变化和随机）但要排除局限于相等或无法取等式这些情况。