n（n＞1）个点，每个点都等概率分布于一个圆内。求这 n 个点全部位于一个半圆内的概率

ccmmjj

趣味概率问题

这大概是一个老题目了，希望有人能把它解答原理说清楚。

n（n>1)个点中每个点等概率分布于一个圆内。求这n个点全部位于一个半圆内的概率。

cgl_74

用中学生看懂的简单的方法，我不会！
我用概率定义，用积分和递归，得到公式为：
P(n) = n*(1/2)^(n-1)
p2=1; p3=3/4; p4= 1/2, p5=5/16

方法有点类似于用方程解应用题：根据题意列方程，然后解方程，最后得结果。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

cgl_74

cgl_74 发表于 2023-6-14 20:05
用中学生看懂的简单的方法，我不会！
我用概率定义，用积分和递归，得到公式为：
P(n) = n*(1/2)^(n-1)

对了，我那个方法不但可以求n个点分布在半圆的概率，还可以求n个点分布在1/4圆或任意长度圆弧上的概率，是通用方法。而且展现了一定的递归技巧和积分求概率的基本方法！但中学生一般是看不懂的，如果讲给自己的学生听有困难。

cgl_74

一个解法，供讨论。

luyuanhong

楼上 cgl_74 的解答已收藏。

ccmmjj

感谢cgl_74网友的详细解答。感谢陆教授对n=3、4的严谨处理。

现在我把我所知道的解决方法分享给大家。

n只鸭子随机地位于弧度为x的扇形里的几率是\(n(x/2π)^{n-1}\)。

随便选一个点，其他n-1个点位于它顺时针x≤π弧度内的几率是\((x/2π)^{n-1}\)，

有n个这样的选择，所以，最终的几率就是\(n(x/2π)^{n-1}\)。

对半圆来说，把x=π, 代入就是\(n(1/2)^{n-1}\)

ccmmjj

重新编辑：这个结论可以用数学归纳法证明:
若\(P_n(x)=n(x/2π)^{n-1}=∫^x_0n(n-1)α^{n-2}/(2π)^{n-1}dα=∫^x_0Q(α)dα\)
则\(P_{n+1}(x)=∫^x_0Q(α)dα∫^x_{-(x-α)}dβ/2π=∫^x_0Q(α)(2x-α)/2πdα=(n+1)(x/2π)^n\)
在形式上正好相同，只要验证n=2时形式成立就可以了。

cgl_74

ccmmjj 发表于 2023-6-15 11:24
感谢cgl_74网友的详细解答。感谢陆教授对n=3、4的严谨处理。

现在我把我所知道的解决方法分享给大家。

你分享的这个解答，我没看懂。
而且说实话，我认为这是知道答案后凑的解法，而且凑得很牵强，每一句话漏洞都很大，不符合逻辑，
概率这东西很容易让人想当然。一定要基于严谨逻辑才有依据。