已知 a,b∈(0,1) ，且 4ab=1 ，求 1/(1-a)+2/(1-b) 的最小值。

波斯猫猫

已知a,b∈(0，1)，且4ab=1，求1/(1-a)+2/(1-b)的最小值。

Nicolas2050

ans:
1/(1-a)+2/(1-b)的最小值＝[12+4*sqrt(2)]/3.

method:万能K法。

波斯猫猫

思路：因4ab=1，故1/(1-a)+2/(1-b)=1/(1-a)+8ab/(4ab-b)=1/(1-a)+8a/(4a-1)

=4/(4-4a)+2/(4a-1)+2=4/r+2/t+2  (令r=4-4a，t=4a-1，r，t∈R+)

=(4/r+2/t )(r+t)/3)+2=(6+4t/r+2r/t)/3+2≥(6+4√2)/3+2=4+4√2/3.

波斯猫猫

思路(判别式法)：因4ab=1，故x=1/(1-a)+2/(1-b)=1/(1-a)+8ab/(4ab-b)=1/(1-a)+8a/(4a-1)，

即4(x-2)a^2-(5x-12)a+x-1=0.  因a，b∈(0，1)，故关于a的一元二次方程

4(x-2)a^2-(5x-12)a+x-1=0的判别式(5x-12)^2-16(x-2)(x-1)≥0，且 x＞3. 解得，x≥4+4√2/3.

luyuanhong

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