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已知 x^3 + y^3 + 3 x y = 1,证明 (x+y-1) { (x+1)^2+(y+1)^2+(x-y)^2 } =0

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发表于 2025-1-19 13:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知 x^3 + y^3 + 3 x y = 1,证明 (x+y-1) { (x+1)^2+(y+1)^2+(x-y)^2 } =0。
发表于 2025-1-19 15:05 | 显示全部楼层
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\(\left( x+y-1\right)\left[ \left( x+1\right)^2+\left( y+1\right)^2+\left( x-y\right)^2\right]\)
\(=\left( x+y-1\right)\left( 2x^2-2xy+2y^2+2x+2y+2\right)\)
\(=2\left( x^3+3xy+y^3\right)-2\)
\(=2-2\)
\(=0\)
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发表于 2025-1-19 18:39 | 显示全部楼层
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发表于 2025-1-22 13:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2025-1-23 11:30 编辑

已知 x^3 + y^3 + 3 x y = 1,证明 (x+y-1) [(x+1)^2+(y+1)^2+(x-y)^2 ] =0.

证 ∵ x^3 + y^3 + 3 x y =1,

(x+y)(x^2-xy+y^2)+3xy-1=0,

(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)+(x^2-xy+y^2)+3xy-1=0,

(x+y-1)(x^2-xy+y^2)+(x+y)^2-1=0,

(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)=0,

∴ (x+y-1) [(x+1)^2+(y+1)^2+(x-y)^2 ] =0.
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发表于 2025-1-23 10:24 | 显示全部楼层
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