小乐数学科普：数学天才英年早逝多年后，她的思想焕发新生

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小乐数学科普：数学天才英年早逝多年后，她的思想焕发新生

3.8 国际劳动妇女节本周来临，谨以量子杂志这篇应景文章献给令人尊敬的当代女数学家们。

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-3-3

译者：zzllrr 小乐（数学科普公众号）2025-3-4

新的证明拓展了已故女性菲尔兹奖得主玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977 - 2017）的研究成果，巩固了她作为异域数学领域先驱的地位。


供图：Kristina Armitage|Quanta  原始图源（从左至右）：欧莱雅女性科学家基金会、Jan Vondrák、P. Imbert/法国学院

玛丽亚姆·米尔扎哈尼（中）在研究生时期改变了双曲几何领域。但她在 40 岁时就去世了，当时她还未回答自己感兴趣的许多问题。

数学家劳拉·蒙克（Laura Monk，左）和纳里尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman，又译阿南塔拉曼、阿纳塔拉曼，右）现在正在继续她未竟的事业。

21 世纪初，哈佛大学一位年轻的研究生开始绘制一个奇异的数学世界——一个充满几何直觉所无法解释的形状的世界。她的名字叫玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，1977 - 2017），她后来成为第一位获得菲尔兹奖的女性，这是数学界的最高荣誉。

她最早的作品是研究“双曲”曲面（hyperbolic surface）的。在这种曲面上，平行线会相互远离，而不是保持相同的距离，而且在每一点，曲面都会像马鞍一样向两个相反的方向弯曲。

虽然我们可以想象球面或甜甜圈的表面，但双曲曲面的几何特性非常奇怪，以至于无法形象化。但理解它们也很重要，因为这种曲面在数学甚至弦理论中无处不在。

米尔扎哈尼是一位颇具影响力的双曲宇宙制图师。在读研究生期间，她开发了开创性的技术，使她能够开始对这些形状进行分类，然后继续革新数学研究的其他领域。

她希望以后能重新审视她的双曲领域地图——填补其细节并做出新发现。但在她这样做之前，她被诊断出患有乳腺癌。她于 2017 年去世，年仅 40 岁。

此后，两位数学家继续研究她的工作，并进一步加深了对双曲曲面的理解。在上个月发表在网上的一篇论文中，法兰西学院的纳里尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman）和布里斯托尔大学的劳拉·蒙克（Laura Monk）以米尔扎哈尼的研究为基础，证明了关于典型双曲曲面的广泛论述。她们证明了，曾经被认为罕见甚至不可能的曲面实际上很常见。事实上，如果你随机选择一个双曲曲面，它基本上可以保证具有某些关键属性。


米尔扎哈尼在多个研究领域取得重大突破，成为第一位获得菲尔兹奖的女性。图源：Jan Vondrak

普林斯顿大学数学家彼得·萨纳克（Peter Sarnak）表示：“这是一个里程碑式的成果。未来还会有更多成果。”

这项研究尚未经过同行评审，它表明双曲面比人们想象的还要奇怪和难以理解。它还继承了米尔扎哈尼的数学遗产，重新点燃了她探索这个充满难以想象形状的宇宙的梦想。

一份内容丰富的论文

米尔扎哈尼在伊朗德黑兰长大，童年时，她是个狂热的读者，希望有一天能写出自己的书。但她在数学方面也很优秀，最终在国际数学奥林匹克竞赛（IMO ，一项针对高中生的著名竞赛）上赢得了两枚金牌。


米尔扎哈尼在伊朗长大，最初的梦想是成为一名作家，后来才决定成为一名数学家。

1999 年，从沙里夫理工大学毕业后，她前往哈佛大学读研究生。在那里，她爱上了双曲几何。她是个狂热的涂鸦爱好者，喜欢尝试理解那些按定义无法绘制的形状的挑战。

“双曲曲面有点像一块拼图，你可以在局部拼凑起来，但在我们的宇宙中却永远无法完成，”密歇根大学数学家、米尔扎哈尼的前博士后研究员亚历克斯·赖特（Alex Wright）说道。

这是因为拼图的每一块都是马鞍形的。你可以将几块拼凑在一起，但永远无法完全闭合曲面——至少在我们平坦的三维空间中不行。这使得双曲曲面特别难以研究。甚至关于它们的基本问题也悬而未决。

为了掌握双曲曲面，数学家研究了其上的闭环。这些环称为测地线（geodesic），有各种形状；对于给定的形状，它们在返回起点时会从一点到另一点划出最短的路径。曲面上的孔越多，其测地线就越多样化和复杂。通过研究曲面上有多少条给定长度的不同测地线，数学家可以开始了解曲面整体的样子。

测地线如何解释曲面

为了理解一个曲面，数学家研究其上的路径——称为测地线——这些路径沿着最短的可能轨迹回到起点。


上图中这两种形状都有无限多的测地线，因此数学家们计算的是不超过给定长度的测地线的数量。随着曲面中孔洞的数量增加，这个数量也会增加。图源：Mark Belan|Quanta

米尔扎哈尼对这些环绕曲线开始着迷。在与同事讨论时，她不断提起它们，她平时的克制消失了。她经常气喘吁吁地谈论测地线和相关对象，好像它们是故事中的人物。

“我记得她演讲时会问这两个问题：有多少条曲线，它们在哪里？”多伦多大学的卡斯拉·拉菲（Kasra Rafi）说。

在读研究生期间，她开发了一个公式，可以估算出任何双曲曲面在给定长度内有多少条测地线。这个公式不仅让她能够描述单个曲面，还使她能够证明弦理论中一个著名的猜想，并让她了解可以构造哪些类型的双曲曲面。

完成研究生学位后，米尔扎哈尼继续在几何学、拓扑学和动力系统领域取得重大进展。但她从未忘记博士论文的主题。

她希望更多地了解她所分类的双曲动物园里生活着的生物。特别是，她想了解典型的双曲曲面是什么样子。数学家通常首先研究她们可以构造的对象——图形、结、数列。

但她们的构造通常“一点也不典型”，索邦大学的布拉姆·佩特里（Bram Petri）说。“我们倾向于画出非常特别的东西。”随机选择的典型图形、结或数列看起来会非常不同。

于是米尔扎哈尼开始随机挑选双曲曲面并研究其特性。“她有完美的工具，所以这很自然，”赖特说。

但她在真正开始研究之前就去世了。蒙克说：“她当时只是在研制‘机器’，然后就没有时间使用它了。”

继续追问

蒙克从未想过自己会成为米尔扎哈尼的接班人。事实上，直到 20 岁出头，她都没有打算从事数学研究。她从小就计划当一名老师，当时她会辅导同学，以消除数学课上的无聊。“我在学校时非常痛苦，”她说。“我会通过担任助教来让自己忙碌起来。”


劳拉·蒙克（Laura Monk）自读研究生以来一直在研究米尔扎哈尼在去世前未能完成的数学理论。蒙克觉得她通过米尔扎哈尼的证明了解了这位数学家。图源：欧莱雅女性科学家基金会

她报读了巴黎萨克雷大学的硕士课程，是 40 人中三名女性之一。临近毕业时，她得知其他两名女性也计划离开学术界。她们的离开让她怀疑她们的计划是否反映了“我们自己的个人选择和愿望”。

她说，“或者我们处在一个非常例外的环境中，受到的影响比我们意识到的要大。”她觉得自己有责任为她计划授课的女孩们树立一个数学界成功女性的榜样。

于是她决定攻读博士学位。“我们至少要有一个人读这个，”她告诉自己。“否则就太可悲了。”（后来，另一个女生也获得了博士学位。）

在一位教授的建议下，蒙克坐火车去见纳利尼·安娜塔拉曼（Nalini Anantharaman），她是一位潜在的导师，和米尔扎哈尼一样，是多个领域的专家。

事实上，安娜塔拉曼在米尔扎哈尼的职业生涯中曾多次见过她——她们年龄相仿，对类似主题感兴趣。两人都对人文学科充满热情：米尔扎哈尼几乎将自己的研究献给了文学，而安娜塔拉曼则接受过古典钢琴家的培训，并不确定自己会从事音乐还是数学。


纳里尼·安纳塔拉曼在决定成为一名数学家之前，几乎一直想成为一名古典钢琴家。她最近在双曲几何领域证明了一项开创性成果。图源：Noel Tovia Matoff

2015 年，两位数学家都到加州大学伯克利分校学习了一个学期。米尔扎哈尼的女儿和安纳塔拉曼的儿子年龄相仿，两位数学家偶尔会在当地的游乐场见面，在孩子们玩耍的时候，她们谈论着做母亲的话题。

安娜塔拉曼知道米尔扎哈尼在生命的最后阶段开始尝试随机双曲曲面。她现在希望在此基础上继续努力。

描述双曲曲面的一种方法是测量其连通性。想象一下你是一只蚂蚁，沿着随机方向在曲面上行走。如果你走了一会儿，你最终到达曲面上任何地方的可能性是否相等？

如果它的连通性很好，各个区域之间有很多可能的路径，那么答案是肯定的。但如果它的连通性很差——就像一个哑铃，由两个大区域组成，由一座狭窄的桥连接——你可能会花很长时间在一侧徘徊，然后才能找到穿过另一侧的路。

数学家使用一个称为谱间隙（spectral gap）的数字来测量曲面的连通性。该值越大，曲面的连通性就越强。尽管我们仍然无法想象曲面，但谱间隙提供了一种思考其整体形状的方法。“这就像是一种量化判断的方式，‘曲面是什么样子的？’”拉菲说。

曲面连接

曲面（表面）可以以奇怪的方式弯曲和扭曲。数学家通过测量它们的连通性来理解它们。

连通性差的曲面

如果你在曲面上随意行走，从一片区域到另一片区域需要很长时间。



良好连通的曲面

在随机行走中，你更有可能快速到达另一个区域。


图源：Mark Belan|Quanta

虽然谱间隙理论上可以是 0 到 1/4 之间的任何值，但数学家能够构建的大多数双曲曲面的谱间隙相对较小。

直到 2021 年，她们才弄清楚 https://arxiv.org/abs/2107.05292 如何构建具有任意数量孔且具有最大谱间隙的曲面，即最大程度连通的曲面。

但尽管已知的高谱间隙双曲曲面相对较少，数学家们还是怀疑它们不很常见。双曲曲面的宇宙广阔无垠，而且大部分尚未被探索。

虽然数学家通常无法在这个宇宙中构造单个曲面，但她们希望了解典型曲面的一般性质。当她们将双曲曲面作为一个整体来看待时，她们预计大多数曲面的谱间隙为1/4 。

这正是安娜塔拉曼希望分配给她的新研究生的问题。蒙克渴望与一位女性导师密切合作，并为自己设定了雄心勃勃的目标——“如果我要读博士学位，我会认真去做，”她记得当时是这么想的——于是她签了字。

撰写续集

2018 年，米尔扎哈尼去世仅一年后，蒙克开始跟随安娜塔拉曼攻读研究生学位。她的第一步是尽可能多地了解米尔扎哈尼在双曲曲面方面的研究。

众所周知，如果你能足够准确地估计出曲面上闭合测地线的数量（米尔扎哈尼深入研究过的那些环状路径），你就能计算出曲面的谱间隙。

蒙克和安纳塔拉曼需要证明几乎所有双曲曲面的谱间隙都是1/4 。也就是说，随着曲面上孔洞数量的增加，选择具有最佳谱间隙的曲面的可能性将接近 100% 。

两人首先从米尔扎哈尼在攻读博士学位期间提出的测地线计数公式入手。问题是，这个公式低估了测地线的数量。

它数出了大部分测地线，但不是全部——它漏掉了更复杂的测地线，这些测地线在交叉后又回到起点，比如一个围绕两个洞的 8 字形。


米尔扎哈尼花了数年时间探索奇特弯曲的“双曲”形状。她喜欢在巨大的纸张上涂鸦自己的想法，尽管这种形状从定义上来说是无法画出来的。图源：Thomas Lin

但蒙克和安纳塔拉曼利用米尔扎哈尼有限的公式找到了一种证明相对较大谱间隙的方法。“这看起来几乎像是一个奇迹，”安纳塔拉曼说。“它如此有效对我来说仍然很神秘。”

如果她和蒙克能改进米尔扎哈尼公式，使其也能计算更复杂的测地线，结果会怎样？也许她们的计算结果足够精确，可以转化为 1/4 的谱间隙，这也是她们之前的数学家们希望实现的。

安娜塔拉曼突然想起米尔扎哈尼去世前几年发给她的一封电子邮件，邮件中提出了一系列有关谱间隙和测地线计数之间关系的问题。

“当时，我真的不知道她为什么要问这些问题，”安娜塔拉曼说。但现在她想知道米尔扎哈尼是否计划采取类似的方法。

蒙克在研究生院期间曾花了一些时间研究如何将米尔扎哈尼公式扩展到更复杂的测地线。在此期间，她还撰写了很长很详细的米尔扎哈尼在原始论文中未完全解释的关键概念的描述。

“我觉得她的一些想法只是摆在桌面上，等着别人向社区解释，因为她没有机会这样做，”她说。

到 2021 年，蒙克已经弄清楚了如何计算以前无法计算的各种测地线。她和安纳塔拉曼知道，再做一些额外的工作，她们可能就能用她们的新公式更好地估计谱间隙。但她们决心实现完整的 1/4 目标，而不是发表部分结果。

然后她们就被困住了。

重温圣典

有一种特别难缠的测地线总是挡住她们的路。这些测地线会长时间缠绕在曲面的同一区域，形成盘旋的缠结。缠结只出现在少数难缠的曲面上，但一旦出现，就会成群结队。

如果蒙克和安娜塔拉曼将它们计入总数，就会打乱她们需要执行的计算，将计数转换为谱间隙——导致输出小于 1/4 。

蒙克说，情况看上去毫无希望。

当两个独立的团队在几个月内发表了论文，https://arxiv.org/abs/2103.07496 证明了谱间隙为 3/16 时，她的沮丧感更有加深。这个消息并没有让安娜塔拉曼感到困扰；她只关心达到 1/4 。

“当我开始做某件事时，我有点爱上了一个遥远的目标，”她说——显然这是她和米尔扎哈尼共有的一个特点。

但蒙克仍在攻读博士学位的最后一年，她需要一个能让她完成论文的结果，她想知道她们是否应该接受更低的回报。“我有点沮丧，我们没有想到这样做，”她说。

亚历克斯·赖特（Alex Wright）是取得 3/16 结果的团队之一，他理解她的观点。“研究生研究如此雄心勃勃的问题，这很不寻常，”他说。而且似乎没有人能想出办法实现 1/4 。

但安娜塔拉曼有一个想法：转向数学的另一个领域，即图论（graph theory），来寻找灵感。请记住，安娜塔拉曼和蒙克试图证明大多数双曲曲面都是尽可能连通的。

二十年前，数学家乔尔·弗里德曼（Joel Friedman，1949 -）证明了大多数图（数学中出现的顶点和边的集合）都具有这种特性。


乔尔·弗里德曼证明，几乎所有由点和线组成的网络（称为图，graph）都具有某种关键特性。数学家们最近采用了他的成果来解决双曲几何中一个重要的未解问题。图源：Joshua Friedman

但弗里德曼的结论并不容易理解。“这是一个出了名的难解结果，其证明过程非常冗长，难以简化，”赖特说。

当安娜塔拉曼和蒙克开始她们的项目时，她曾尝试阅读弗里德曼的证明。但和许多其他数学家一样，她发现它难以理解。“当时，我真的一点也不明白，”她说。现在她又回到了它，寻找新的线索。

她找到了线索。证明的某些步骤看起来很熟悉，就像她和蒙克试图处理的双曲曲面的图论版本。

事实上，她意识到，弗里德曼在他的图中遇到了顶点之间的复杂路径，就像她纠结的测地线一样，阻碍了他获得谱间隙的最佳估计。但不知何故，他找到了处理这些路径的方法，而安娜塔拉曼不太明白他是如何做到的。

2022 年 5 月，她和蒙克组织了一场研讨会，并邀请弗里德曼讲述他的工作。“她们确实需要一种深埋在我的证明中的技术，”他说。


当解释她的数学思想时，一向内敛的米尔扎哈尼变得生动活泼。她谈论各种感兴趣的事物，就好像它们是故事中的人物一样。图源：Jan Vondrák

他基本上找到了一种方法来证明他可以从计算中完全删除有问题路径的图。在与弗里德曼交谈后，蒙克和安娜塔拉曼意识到她们可以做同样的事情。

还有很多工作要做：将弗里德曼的方法转化为适用于双曲曲面的方法会很困难。但她们的疑虑得到了缓解。“这非常令人兴奋，”蒙克说。“此时，很明显我们可以完成。”

不断传承的遗产

2023年初，两位数学家撰写了一篇论文，概述了她们迄今为止所做的工作。在论文中， https://arxiv.org/abs/2304.02678  她们证明了创纪录的 2/9 谱间隙。“这感觉是一个非常好的中间步骤，”蒙克说。

次年，她们改进了弗里德曼的方法 https://arxiv.org/abs/2401.01601 ，并制定了计划，说明如何使用该方法得到 1/4  https://arxiv.org/abs/2403.12576 。上个月，她们终于完成了证明，https://arxiv.org/abs/2502.12268 证明随机选择的双曲曲面很可能具有最大的谱间隙。

这一结果让数学家们了解到了比以往更多的有关双曲曲面的知识。其他研究人员现在希望利用这对搭档的技术来解答其他重要问题，包括有关数论和动力学中重要曲面的问题。

巴黎朱西厄数学研究所的数学家安东·佐里奇（Anton Zorich）说，这项工作“会立即产生大量的相关结果”。

这也让蒙克和安纳塔拉曼对米尔扎哈尼的研究有了更深入的了解。尽管蒙克从未看过米尔扎哈尼的任何讲座录音，也从未听过她的声音。

她说，她更希望米尔扎哈尼“在我心中保持一个神秘感”，但她觉得自己好像通过米尔扎哈尼的证明认识了她。

“当你详细阅读某个人的作品时，你最终会理解超越作品内容之外的东西，了解她们的思维方式，”蒙克说。

她很荣幸能够延续米尔扎哈尼的遗产，而数学家们也很高兴看到这一遗产接下来会带来什么。

赖特在谈到他的前任导师时说道：“我很伤心她看不到这一点。”

佐里奇表示赞同。“她本应该在那里欣赏这一切，”他说。“我相信她会非常高兴。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/y ... -new-life-20250303/

https://arxiv.org/abs/2107.05292

https://arxiv.org/abs/2304.02678

https://arxiv.org/abs/2401.01601

https://arxiv.org/abs/2403.12576

https://arxiv.org/abs/2103.07496

https://arxiv.org/abs/2502.12268

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原创 量子杂志 Quanta Magazine zzllrr 小乐 2025 年 03 月 04 日 江苏