\(\textbf{孬种搅局2}\Huge\color{red}{\textbf{自然数皆有限数}}\)

elim · 发表于 2025-5-2 03:27

本帖最后由 elim 于 2025-5-1 17:03 编辑

由Wiki词条【有限集】是其元素个数为某自
然数的集合. 确切说来, 有限集合是与某形如
\({\small I_n:=\{0,1,\ldots,n-1\}}\big({\small n(\in\mathbb{N})}\)底层集合指称\(\big)\)
对等(同势)的集合,\(\:\small I_n\)的元素个数\( n\)也被用来
表示与\(\small I_n\)等势的集合的基数.
所有这些定义及约定的合理性,均建筑在命题
\(\color{red}{ I_n\small\,(n\in\mathbb{N})}\)是Dedekind意义上的有限集
为真这点上. 下面是证明：\(\;\;\)易见命题蕴涵链
\(\small(I_n\simeq A\subsetneq I_n)\implies \exists m< n\,(I_n\simeq I_m)\implies\)
\(\small\exists m< n,\,f\in I_m^{I_n}\,(I_n\underset{\scriptsize f}{\simeq} I_m)\wedge({\scriptsize f(n-1)=m-1})\)
\(\small\implies\exists m< n(I_{n-1}\simeq I_{m-1})\)构成下命题的证明：
若\(\color{red}{I_n}\)是无穷集, 则\(\color{red}{I_{n-1}}\)亦然.\(\quad\)其逆否命题是
\(\color{red}{\small(\dagger)}\,\)若\(\small\color{red}{I_m}\)为有限集, 则\(\small\color{red}{I_{m+1}}\)亦然.\(\;\,\)运用\(\small(\dagger)\)及数
学归纳法即得\(I_n\)为有限集\(\small(\forall n\in\mathbb{N})\). 自然数皆
为有限数, 自然数既是有限基数又是有限序数.
至此定理 \(\color{red}{\mathbb{N}}\)不含超限数已得证.
不论把 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\) 视为有限序数升列所决定的首
个极限序数\(\,\small\omega\), 还是可数多个\(\small\,1\,\)的和\(\;\small=\aleph_0\times 1\)
\(\small=\aleph_0,\;\)它都是超限数因而不是自然数.\(\;\)在标准
分析中\(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)有一个符号\(\small\infty\,\)解读, 明说它在 \(\mathbb{R}\)
(因而在\(\mathbb{N}\))之外.

【注】最小超穷序数\(\omega=\mathbb{N}\). 参见程极太【集合论】
【注】戴德金(Richard Dedekind)集合有穷无穷释义．
\(\qquad\quad\)一个集合无穷当且仅当它有真子集与之对等；
\(\qquad\quad\)一个集合有穷当且仅当它无真子集与之对等．

春风晚霞 · 发表于 2025-5-2 07:11

\(\huge\color{red}{再论\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}}\)

   方嘉琳先生在《集合论》133页孤立序数的概念，方嘉琳先生认为：有直前（直接前趋）的序数叫孤立序数。没有直前（直接前趋）的序数叫极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页定义3）。并指出有限序数中（除0外）皆为孤立序数，设\(\xi\)为序数，则开如\(\xi+\eta\)的序数也是孤立序数。而\(\omega，\omega+\omega\)等都是极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页9—10行）。
   在康托尔《超穷数理论基础》中，给出了一个重要的实正整数生成法则，\(\overline{\overline{E_{\nu}}}=\)\(\overline{\overline{E_{\nu-1}}}+1\)。这个法则亦称康托尔实正整数第一生成法则。不难看出这个法与皮亚诺公理的第二条是一致的。其实质都是根据前的数生成后边的数数。所不同的是皮亚诺公理第二条是的对像是“每一个确定的自然数”；而康托尔实正整数第一生成法则的对像是已生成的实正整数整体（即已生成的实正数的集合）。
康托尔在该书的75页给出了有穷基数的无穷数列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega，\omega+1\)，…，不难看出这个\(\nu\)就是处于极限位置的序数的极限，即是\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)。康托尔认为实正整数“\(\nu\)既表示把一个个单位加上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18—19行），也就是\(\nu=\overline{\overline{\{1，2，…，\nu-1，\nu\}}}\)，因为\(\nu\)直前\(\nu-1\)，所以\(\color{red}{\nu是序数的极限，而不是}\)\(\color{red}{极限序数\omega!}\)。相对于最小可列数集\(\mathbb{N}=\{0,1,2,…，\nu-1,\nu\}\)而言，说\(\nu=\aleph_0\)也不为过！
   根据前面对数\(\nu\)的分析知道普通自然数集\(\mathbb{N}\)是由有限数和无穷数两大部分组成。亦即对于预先给定的，无论怎样大的自然数\(\alpha\)，\(\mathbb{N}=\{n:n\le\alpha\}\)\(\cup\{n:n\le\alpha\}\)。因此ChatGPT说【自然数集集\(\mathbb{N}=\{1，2，3，4，…\}\)是一个无限集，意味着它的元无限，但每个自然数都是有限的，我们可以一个接着一个地数出来，对于任何自然数n，我们能找到一个更大的自然数n+1，但这个过程永远不会达到一个无穷大的自然数】是不严谨的。因为【自然数集集\(\mathbb{N}=\{1，2，…\}\)是一个无限集，意味着它的元无限】，那么表示自然数集\(\mathbb{N}\)中元素个数的自然数也就是无限的。这个表示\(\mathbb{N}\)中元素个数的自然数就不是有限的。就是说\(\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\aleph_0\)就是无限的。普通自然数最原始的定义可是“表示事物的个数或编号的数叫自然数”（参见《辞海》自然数词条）。还有数学中的无穷大是集合，是大于预先给定的无论怎样大的正数E的所有数的全体，所以说“这个过程永远不会‘到达’一个无穷大的数”就不是业内人说的行话了。

春风晚霞 · 发表于 2025-5-2 08:04

elim根本就不知道什么是无数，当然也就不知道什么是超穷？\(nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)是无穷自然数，而不是超穷自然数！康托尔的超自然数是指超越无穷的自然然数，而不是指超越有限自然自然数的娄！认是白痴，看看康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，…\(nu\)，\(\omega，\omega+1\)，……你自然知道！

春风晚霞 · 发表于 2025-5-2 08:07

elim根本就不知道什么是无数，当然也就不知道什么是超穷？\(nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)是无穷自然数，而不是超穷自然数！康托尔的超自然数是指超越无穷的自然然数，而不是指超越有限自然自然数的娄！认是白痴，看看康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，…\(nu\)，\(\omega，\omega+1\)，……你自然知道！

春风晚霞 · 发表于 2025-5-2 08:14