诺维科夫：莫斯科拓扑学派的中流砥柱

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诺维科夫：莫斯科拓扑学派的中流砥柱

作者：张悦  徐乃楠  刘鹏飞

谢尔盖·彼得罗维奇·诺维科夫是俄罗斯著名数学家，1970 年菲尔兹奖获得者，2005 年沃尔夫数学奖获得者。诺维科夫在拓扑学和数学物理学领域都做出了重大贡献，推动了莫斯科拓扑学派的复兴与发展。


谢尔盖·彼得罗维奇·诺维科夫（Сергей Петрович Новиков）是俄罗斯著名数学家，曾获数学界最高奖菲尔兹奖、沃尔夫数学奖。他早期主要研究兴趣是拓扑学，后将注意力转向数学物理学。他对于莫斯科数学学派的复兴与发展起到了至关重要的作用，是莫斯科拓扑学派的中流砥柱。

诺维科夫简介

1938 年 3 月 20 日，诺维科夫出生于苏联的高尔基市（现为俄罗斯的下诺夫哥罗德市，因著名文豪高尔基出生于此，故 1932—1990 年间被称为高尔基市）。

其父彼得·谢尔盖维奇·诺维科夫（П. С. Новиков）是一位数学家，在数理逻辑、集合论方面都做出了重要贡献。其母柳德米拉·弗谢沃洛多夫娜·克尔德什（Л. В. Келдыш）也是一位数学家，是几何拓扑和集合论方面的杰出专家[1]。诺维科夫的舅舅姆斯季斯拉夫·弗谢沃洛多维奇·克尔德什（М. В. Келдыш）是苏联杰出的数学家和工程师，对复变函数理论、微分方程和空气动力学的应用做出了重大贡献，被誉为苏联“航天学的首席理论家”，是苏联太空计划工作的领导人之一[2]。

诺维科夫的哥哥列昂尼德·韦尼阿米诺维奇·克尔德什（Л. В. Келдыш）是国际知名的固体物理学和凝聚态物理学理论专家。他的另一个哥哥安德烈·诺维科夫（A. Новиков）是代数数论领域的专家，但不幸早夭。他的两个妹妹则从事数学以外的其他工作。

可以想见，诺维科夫在一个数学氛围浓厚的家庭环境中长大，从小就在他父亲的学生李雅普诺夫（А. А. Ляпунов）组织的儿童科学学会学习科学知识。1945—1955 年，他在莫斯科第 330 中学接受教育，开始学习英语和拉丁语，同时他还一直在家学习德语。

诺维科夫在数学方面具有很高的天赋，13—14 岁时就参加了数学奥林匹克竞赛并取得了卓越的成绩。尽管如此他也不确定自己是否要从事数学研究，因为在他看来家中已经有了许多数学家。直至 17 岁诺维科夫才决定从事数学研究，并于 1955 年考入莫斯科大学数学与力学系。本科期间，诺维科夫并没有跟随当时莫斯科大学研究实变函数论的热潮，而是选择当时国际上热门的拓扑学，此后在老师波斯尼科夫（М. М. Постников）指导下掌握了大量现代拓扑思想。1960 年诺维科夫顺利获得学士学位，同年考入斯捷克洛夫数学研究所成为一名研究生，并于 1964 年获副博士学位。

1965 年，诺维科夫因为证明了微分流形有理庞特里亚金示性类的拓扑不变性而名声大噪，并获理学博士学位。随后他在莫斯科大学微分几何系任教，同年被选为苏联科学院通讯院士。

1968 年，苏联著名数理逻辑专家亚历山大·谢尔盖耶维奇·叶赛宁-沃尔平（А. С. Есенин-Вольпин）因政治问题在未经亲属知情和同意的情况下，被强行安置在精神病院。这一举动引起苏联科学界不满，包括数学家盖尔范德（И. М. Гельфанд）、诺维科夫在内的 99 名科学家联名签署公开信，要求释放叶赛宁-沃尔平。这封公开信在英国广播电台和美国之声广播播出后，全世界的舆论压力迫使苏联领导人立即释放了叶赛宁-沃尔平，但这也激怒了当局，为此盖尔范德被迫辞去在莫斯科大学数学力学系的教学工作。诺维科夫也受到了影响，在 1970 年法国尼斯举办的国际数学家大会上诺维科夫被授予菲尔兹奖，然而却被禁止参加颁奖典礼。

1971 年，诺维科夫加入苏联科学院朗道理论物理研究所，将注意力转向数学物理，紧密地同物理学家合作，为数学及理论物理之间架设桥梁。他研究的起点是 1960 年代后期发现非线性浅水波方程的孤立子解，诺维科夫出乎意料地把这类可积系统同代数几何学联系起来，其后推广到更为高阶的 KdV 方程。他的研究对象不仅限于经典物理学，还有量子力学及场论等。

诺维科夫还致力于把拓扑与代数几何思想渗透到物理学方面，为此他系统学习了物理教材上的全部理论，深入研究力学与理论物理学。其间诺维科夫相继发表了多篇文章，并参与撰写《现代几何学——方法和应用》系列丛书。整套书内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法（第 1 卷），微分流形的拓扑和几何（第 2 卷），以及同调与上同调理论（第 3 卷），力求以直观的语言从物理的视角阐述数学问题。

1981 年，诺维科夫被选为苏联科学院院士。1985—1996 年担任莫斯科数学学会主席。1986—1990 年担任国际数学物理协会副主席。直到戈尔巴乔夫执政时期，诺维科夫才被允许出国进行国际学术交流。自 1996 年起，他一直在美国马里兰大学担任教学工作，但与俄罗斯保持着密切的联系，仍在莫斯科大学、斯捷克洛夫数学研究所、朗道理论物理研究所担任研究职务。

诺维科夫兴趣广泛，他也是一位敏锐而博学的历史爱好者。曾有人在希腊的克里特岛目睹了一件有趣的事：一位年轻的高素质专业导游因为诺维科夫在希腊历史方面出众的知识而感到非常尴尬[3]。

2024 年 6 月 6 日，诺维科夫去世，享年 86 岁。

对拓扑学的贡献

1950 年左右是苏联拓扑学蓬勃发展的时期，特别是庞特里亚金（Л. С. Понтрягин）引进以他名字命名的示性类，将苏联的拓扑学研究推到一个新的高度。然而 1952 年，庞特里亚金彻底改变了他的研究方向，开始研究应用数学，特别是研究微分方程和控制理论。这就导致苏联拓扑学在庞特里亚金之后出现了一个较长时期的中断。偏偏在这时，法国数学家特别是塞尔（J. P. Serre）和托姆（R. Thom）以及当时在法留学的吴文俊等人把拓扑学推向一个新高峰。

正值大学读书的诺维科夫看出苏联数学研究中的这项空白，开始跟随波斯尼科夫研究拓扑学。通过研究亚当斯（J. F. Adams）和托姆的作品，诺维科夫于 1959 年发表了第一篇文章《斯廷罗德代数的上同调》[4]，对于 p>2 的情况进一步发展了亚当斯计算稳定同伦群的方法——“亚当斯谱序列”，找到球面的“长迭代”，并在有限域上霍普夫代数的同调中创造性地引入了斯廷罗德代数的类比概念，从而完备了霍普夫代数的计算。

诺维科夫随后将其应用于计算定向复配边环。1960 年，诺维科夫发表在苏联科学院院刊上的《与托姆空间理论有关的流形拓扑中的一些问题》[5]，宣布了定向配边环 2-挠模乘法结构的计算，此外他还将某些斯廷罗德代数上的上同调模所具有的霍普夫性质加以形式化，称之为“余代数”，并利用万有托姆空间亚当斯谱序列的乘法性质，从而作为代数推导的一个初等推论计算出了复配边环的结构[6]，这使得配边思想得到了极大的发展。

拓扑学在 1950 年代进入了一个崭新的时期，其标志是 1956 年米尔诺（J. W. Milnor）发现一个 7 维微分流形，它拓扑同胚于 7 维球面 S7 ，但不微分同胚于带有微分结构的 7 维球面 S7 。随后研究拓扑流形上的微分结构与组合结构的存在性和唯一性、微分结构与组合结构间关系、拓扑流形在各种意义下的分类等问题，成为当时拓扑学界的中心议题，包括诺维科夫在内的许多拓扑学家都做出了重要贡献，使这一课题得到了迅速发展，人们对微分流形和分片线性流形之间的区别以及它们的分类有了深刻的理解。

1961 年，诺维科夫进一步推广米尔诺的做法，成功将与给定流形同伦等价的维数不小于 5 的单连通流形在微分同胚下加以分类。1962 年，美国数学家布劳德（W. Browder）在所有单连通复形中指出了具有闭流形的同伦型。二人最初的工作是为了解决不同的问题，并且是完全独立进行的，但后来发现二人的方法极其相似，最终发展为现在所谓的诺维科夫-布劳德理论，可对给定的同伦类进行分类，也可以用来对组合流形与带边流形进行分类。

1965 年，诺维科夫在苏联科学院院刊上发表的文章《有理庞特里亚金类的拓扑不变性》，分四个步骤使用具有自由阿贝尔基本群的非单连通紧流形及其非紧致泛覆盖，证明了有理庞特里亚金类是拓扑不变的，也就是说，对光滑流形与分片线性流形作纯粹的连续同胚之后它们保持不变。

事实上，这得益于诺维科夫在研究连续同胚时发现的一种新方法，这种方法基于庞特里亚金-希策布鲁赫积分在流形某些特殊的“环体”区域上做局部化，在概念上同格罗滕迪克的“平展拓扑”（еtale topology）相似，后者起源于 1850 年代末，目的是对有限特征域上的代数簇定义合适的同调理论，它是利用扎里斯基拓扑中开集上覆盖的范畴来组成平展拓扑[7]。著名数学家阿蒂亚评价诺维科夫的构造方法：“这是一个真正的神来之笔，完全是史无前例的![8] ”

诺维科夫在证明过程中使用了具有自由阿贝尔基群的流形，同时他也研究了其他特征类的同伦不变性。他观察到，若基本群是非平凡的，则存在具有以下性质的非平凡上同调类：如果将这个类乘以庞特里亚金-希策布鲁赫多项式，并在整个流形上积分，那么得到的结果是同构不变量。并初步推测一维上同调类的乘积就具有这种性质（诺维科夫猜想，或称高维符号差猜想）。1967 年左右，他关于一维上同调类乘积的猜测，被许多数学家完全证明。

诺维科夫因对微分拓扑学配边理论、微分流形理论、有理庞特里亚金示性类拓扑不变性的重大贡献，使得他于 1970 年被授予菲尔兹奖。

在拓扑学的发展史方面，诺维科夫也发表了许多总结性著作供后人参考，如《二十世纪的拓扑学》重点介绍了 20 世纪拓扑学的发展，总结了托姆、米尔诺、布劳德等拓扑学家的工作；《拓扑学 Ⅰ 》和《拓扑学 Ⅱ 》是拓扑学基本教科书，也是拓扑学的百科全书，对后续拓扑学研究者来说具有重要的学习价值。


庞特里亚金

对数学物理的贡献

诺维科夫获得博士学位后进行拓扑学研究时，他就开始思考：纯数学工作的意义何在？纯数学何时何地能够应用？这种想法使他开始走上从数学到自然科学的研究道路，首先开始研究数学的相邻领域——力学，然后是理论物理学[9]。1965—1970 年诺维科夫通过朗道与利夫希茨（Е. М. Лифшиц）撰写的教材，系统地学习理论物理。1971 年，诺维科夫加入朗道理论物理研究所之后，开始致力于在现代数学和理论物理学的交界处做出贡献。

初步接触理论物理这一领域时，诺维科夫就被爱因斯坦的广义相对论所吸引，并与学生撰写了一系列关于宇宙标准模型各向异性扰动的论文，但后来他们发现，如果物质处于现代物理学所能理解的某种状态，在任何具有初始数据的自然统计环境中，膨胀宇宙的可观测各向同性并不明确地遵循爱因斯坦经典广义相对论的定律。然而，现代天文观测表明宇宙在非常早期的“暴胀”阶段就已经变成了各向同性。这无疑降低了致力于非各向同性宇宙学模型的工作的价值，诺维科夫不相信爱因斯坦引力的量化是有必要的，因此停止了这一领域的工作[10]。

较之广义相对论，诺维科夫在数学物理方面最重要的成就来自将代数几何方法引入完全可积系统的研究。在与物理学家合作期间，诺维科夫了解到孤立子理论中的重要数学思想——逆散射问题的方法，这种方法可以用于研究 KdV 方程的孤立子解问题。1974 年，诺维科夫在研究 KdV 方程的一类周期解和概周期解的方法时首次使用代数几何方法，创立了 KdV 方程及其类似问题的代数几何解法。

随后诺维科夫与学生一直在发展孤立子理论，代数几何的方法在其中得到了广泛的应用：1976 年研究二维固定能量薛定谔算子的逆问题；1978—1980 年研究秩大于 1 交换算子的分类问题及代数曲线上全纯束的变形问题；1982—1984 年通过代数几何方法——所谓的“代数几何泊松括号”研究可积系统哈密顿形式的通用方法；1986—1990 年研究黎曼曲面上洛朗-傅里叶基的类似物，以及玻色子弦的算子量子化。

诺维科夫同时还致力于将拓扑学应用于解决物理问题。1982 年，诺维科夫对费米表面上的动力系统几何结构和拓扑结构产生了兴趣，并在讨论班上进行了多年的研究。费米面是金属理论中出现的一个与对偶格对应的三维环面上的莫尔斯函数的水平面，这个环面被称为“准动量空间”。在低温情况下靠近费米表面的自由电子对金属导电性有着重要的意义，而在磁场中，电子开始沿着费米表面运动，它们在通用覆盖上的运动轨迹看起来就像费米面与垂直于磁场的平面的交点。如果基本群的像覆盖了整个晶格，那么费米表面上的动力系统就会非常复杂。

1996 年诺维科夫发表的《在普通金属电导率的研究中观察到拓扑量子特性》中成功利用拓扑得出结论：在一般位置的开放式轨迹的情况下，总是存在一个与强磁场 B 正交的方向 η ，在该方向上，大 B 的电导率接近零，并且该方向位于某个积分（即由两个倒格矢生成）平面中，该平面对于 B 的方向的微小变化保持不变。在强磁场 B 中研究具有复杂费米表面的普通金属单晶的电导率，揭示了由开放式准经典电子轨道拓扑结构决定的积分拓扑特性。此外，他还帮助过其他物理学家将拓扑学应用于杨-米尔斯场理论和凝聚态物理学。

2005 年，为表彰对拓扑学和数学物理的基础性和开创性贡献，诺维科夫被授予沃尔夫数学奖。2005 年 5 月，美国数学学会评价诺维科夫：“对数学的两个独立领域做出了根本性和引人注目的贡献，而他是为数不多的数学家之一，他以令人惊叹和信服的方式，将深刻而关键的数学思想应用于物理学的关键难题。”

诺维科夫与莫斯科拓扑学派

进入 20 世纪以后，莫斯科数学学派迅速发展，在函数论、拓扑学等方面都做出了巨大的贡献，这些成就在当今世纪有着深远的影响。莫斯科拓扑学派是从函数论学派分离出来的，亚历山德罗夫和乌雷松（П. С. Урысон）是莫斯科拓扑学派的主要奠基人，他们早期都从事函数论研究，后转向拓扑学。乌雷松开创了维数理论的研究，为发展一般拓扑学做出了杰出贡献。然而 1924 年 8 月乌雷松在法国西部布列塔尼海岸游泳时遇到暴风，不幸去世。乌雷松去世后，作为乌雷松挚友的亚历山德罗夫整理出版了好友的遗稿，并招贤纳士共同研究拓扑学，莫斯科拓扑学派自此有了雏形。庞特里亚金也深受亚历山德罗夫的影响，早期一直致力于拓扑学研究，在亚历山德罗夫的引导下他 19 岁便发现了对偶性的一般规律，即庞特里亚金对偶定理，这被认为是 20 世纪拓扑学最重要的成就之一。1942 年，庞特里亚金在研究格拉斯曼流形同调基的过程中，发现了一种新的示性类——庞特里亚金类。

这些研究成果使得莫斯科拓扑学在 20 世纪上半叶处于世界领先地位之一。1935 年 9 月，第一届国际拓扑学大会在莫斯科召开，莫斯科拓扑学派的活动更是达到了顶峰。然而到了 1950 年代左右却一度出现了拓扑荒，当时亚历山德罗夫热衷于点集拓扑学，与世界拓扑学发展的代数拓扑（组合拓扑）主流完全脱离，庞特里亚金则从事了最优控制理论的研究，这致使苏联拓扑学的发展每况愈下，莫斯科拓扑学派岌岌可危。

直至 1950 年代末，沉寂了将近十年的拓扑学终于出现了扭转的趋势，莫斯科拓扑学派也迎来了转机。在这个时期，诺维科夫、阿诺德（В.И. Арнольд）等人在拓扑学领域的研究填补了苏联拓扑学上的空缺。他们的研究成果推动了莫斯科拓扑学的复兴，同时也使得莫斯科拓扑学派走向了一个崭新的阶段。

1965 年起，诺维科夫组织了自己的讨论班，并一直坚持至今，成为国际闻名的“诺维科夫讨论班”。除了诺维科夫的讨论班之外，在莫斯科的盖尔范德讨论班、阿诺德讨论班、曼宁讨论班等，培养了大批优秀的人才，在苏联数学发展中发挥了重要的作用。诺维科夫的讨论班早期研究主题为拓扑学，包括研究形式群以及它们在同伦理论以及光滑流形的有限和紧变换群不动点的研究中的应用；多值形式群理论及其在拓扑、代数、分析中的应用；来自复配边理论的运算代数及其众多的拓扑应用和内在代数结构等。培养了许多拓扑学领域的专家，包括 V. M. 布赫什塔贝尔、A. S. 米先科、I. N. 伯恩斯坦、I. A. 沃洛丁、S. M. 斯米尔诺夫、S. M. 维什克和 F. A. 博戈莫洛夫等。

1970—1971 年，诺维科夫开始在朗道理论物理研究所工作之后，讨论班的主题逐渐转向现代理论物理中的数学问题。讨论班参与者的研究兴趣也逐渐出现了分歧，于是便组织了新的讨论班，其中涉及拓扑和代数分支包括配边、形式群、非单连通流形问题，厄米特 K-理论等问题的研究。诺维科夫讨论班培养了众多杰出的人才，他们分布于各个领域，他们使用拓扑学、黎曼几何、代数几何、动力系统和奇异性理论等方法，在几何和拓扑学以及应用数学和数学物理的各个领域从事国际水平的工作。

1985—1996 年诺维科夫担任莫斯科数学学会主席。莫斯科数学学会是莫斯科数学学派的重要科学舞台之一。学会的发展见证了苏联 69 年的风风雨雨。1991 年苏联解体，对莫斯科数学学会乃至莫斯科整个数学界带来了巨大冲击，许多数学家纷纷离开，昔日数学界的辉煌不再。此时正值诺维科夫担任学会主席，凭借其在科学院和莫斯科大学的权威，为数学学会获得了必要的法律地位，同时加强了学会与斯捷克洛夫研究所的联系。

此外，为挽救莫斯科数学学会以及整个俄罗斯数学，诺维科夫与众多数学家包括阿诺德等共同组织创办了莫斯科独立大学。该大学加强了与西方俄罗斯侨民的科学合作，培养了许多精英学生，为对抗俄罗斯不可逆转的“人才外流”做出了重要的贡献。

[本文受国家自然科学基金数学天元基金资助项目“19—20 世纪的俄罗斯数学文化史”（12326512）资助。]

张悦，硕士研究生；徐乃楠，教授；刘鹏飞，教授：吉林师范大学数学教育与数学史研究中心，吉林四平 136000 。

ZhangYue, Master Degree Candidate； XuNainan, Professor； LiuPengfei, Professor: Center for Education and History of Mathematics, Jilin Normal University, Jilin, Siping 136000.

[1]Сергей Петрович Новиков （к пятидесятилетию со дня рождения）.Успехи математических наук, 1988, 43（4）: 3-9.

[2]Академик Мстислав Всеволодович Келдыш （некролог）. Успехи математических наук, 1978, 33（5）: 3–5.

[3]Сергей Петрович Новиков （к шестидесятилетию со дня рождения）. Успехи математических наук, 1999, 54（1）: 5-10.

[4]Новиков С П. О когомологиях алгебры Стинрода. Доклады Академии наук СССР, 1959, 128（5）: 893-895.

[5]Новиков С П. О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома. Доклады Академии наук СССР, 1960, 132（5）: 1031-1034.

[6]Novikov S P. 二十世纪的拓扑学（Ⅰ）. 钱妙云, 译.数学译林, 2007, 26（2）: 103-114.

[7]Novikov S P. 二十世纪的拓扑学（Ⅱ）. 李振宇, 译.数学译林, 2007, 26（3）: 193-202.

[8]Atiyah M F. On the work of Serge Novikov. Fields Medallists’ Lectures, 1997, 5: 195-197.

[9]Новиков С П. 二十一世纪前夕的数学（Ⅱ）——二十世纪下半叶的总结:俄罗斯与西方物理-数学界的危机. 袁钧，译.数学译林, 2005, 24（3）: 265-272.

[10]Buchstaber M. Interview with Sergy P. Novikov. European Mathematical Society Newsletter, 2001, 42: 17-20.

关键词：诺维科夫    拓扑学    数学物理    莫斯科拓扑学派

本文刊载于 2025 年第 77 卷第 2 期《科学》杂志（P51-P55）