18、19 世纪的数学家

luyuanhong

18、19 世纪的数学家

原创  张戎  数学人生  2025 年 11 月 7 日 07:01  广东

从绝对数量上看，18、19 世纪的数学家远不及 20 世纪及 21 世纪。我们今天所熟知的那些“巨匠”，如欧拉、高斯、柯西、黎曼，更像是那个时代数学“冰山”最耀眼的顶峰。要理解这座冰山为何显得如此独特和富有创造力，我们需要将视角从“天才辈出”转向“数学学科本身的青春期”以及其社会土壤的变迁。这是一个从“精英的哲学思辨”演变为“一门现代专业学科”的关键成型期。



18、19 世纪的数学界是一个“小世界”。这个世界的总人口基数很小。当时的数学研究尚未成为一种大众化的职业，它更像是少数有闲阶级、天才和大学教授的专属领域。由于总体参与者少，那些真正具有超凡天赋和热情的人就更容易脱颖而出，他们的成就也更容易被整个学界迅速识别和传颂，从而被后世铭记为“巨人”。相比之下，20 世纪以后，随着全球高等教育的大规模普及，数学从业者数量呈指数级增长，形成了一个庞大的“金字塔”。尽管塔尖的成就依然辉煌（如佩雷尔曼、陶哲轩），但他们站在一个由数百万数学工作者构成的庞大基座上。因此，18、19 世纪的数学家群体，更像是一支由几位卓越船长指挥的精锐舰队，而今天的数学界则是一支规模庞大的现代化海军。



那么，这支“精锐舰队”的驱动力和热情来自何处？这背后是数学学科自身发展逻辑与社会变革的深刻互动。



在 18 世纪，数学的热情很大程度上源于一种席卷欧洲的“理性乐观主义”。牛顿力学取得的巨大成功，向人们展示了一个由数学定律支配的宇宙。这激发了一种强大的信念：用微积分等数学工具，人类同样可以揭示所有自然现象的奥秘，从天体运行到琴弦振动，从流体力学到热量传播。这是一种探索“上帝杰作”的智力激情。像欧拉、拉格朗日、拉普拉斯这样的数学家，他们研究的核心动机是理解和量化物理世界。数学和物理学尚未完全分家，许多问题直接来源于天文观测、工程技术和航海需求。此时的数学，是“自然哲学”的王冠。欧拉近乎盲目的晚年依然产出惊人，正是这种用数学秩序理解整个宇宙的信念在驱动。



进入 19 世纪，一场静默但深刻的革命发生了：数学开始“为数学自身”而研究。这股内驱力成为了更强大的引擎。非欧几何的发现是一个转折点。当罗巴切夫斯基和鲍耶等人构想出与欧几里得几何平行的另一种几何时，他们最初并非为了描述物理空间，而是出于对欧几里得第五公设纯粹的逻辑好奇。这一发现震撼了数学界，它表明数学空间可以超越我们的直观经验，存在无数种逻辑上自洽的“可能世界”。这极大地解放了数学家的想象力。紧接着，哈密顿发现了不可交换的四元数，这打破了人们关于乘法必然交换的常识。这些突破标志着数学从“描述现实的仆人”开始转向“探索一切可能形式的科学”。



正是这种转向，催生了 19 世纪数学的“严谨化运动”。当研究的对象越来越抽象、越来越反直觉时，建立绝对牢固的逻辑基础就变得至关重要。柯西、魏尔斯特拉斯等人为分析学奠定了严格的  ε-δ 语言，彻底摆脱了对“无穷小”这个模糊概念的依赖。康托尔勇敢地闯入了“无穷”的领域，创建了集合论。数学家们不再满足于从物理世界获得验证，而是追求逻辑上的完美自洽。这种对内在严谨性的追求，本身就是一种强大的研究热情，一种构建完美智力大厦的渴望。德国数学家们喊出的“纯粹数学是为人类精神荣耀的证明”，正是这种新热情的最佳注脚。



与此同时，推动这股热情的社会机器也发生了根本性变革。19 世纪，特别是在拿破仑战争之后，欧洲（尤其是德国和法国）建立了现代大学和研究型学院体系（如巴黎综合理工学院、哥廷根大学）。数学研究不再是依靠王室恩宠的科学院院士的特权，而是成为了大学里的正式职业。教授们不仅有义务教书育人，更被期望进行原创性研究。这产生了两大效应：一是系统化地培养了大量数学后备人才，二是使“做数学研究”成为一种可持续、可传承的职业。博士制度的确立，使得年轻数学家可以在导师指导下攻克前沿问题。专业期刊的繁荣，确保了新思想能快速传播和接受同行评议。数学，从此成为一门有明确晋升路径、有学术共同体、有交流平台的“现代学科”。



18、19 世纪欧洲数学的辉煌，并非源于某种神秘的“天才井喷”，而是数学这门学科在其发展的“青春期”，恰逢其时地遇上了最适合其成长的社会与思想环境。它是外部应用（理解自然）的强力牵引与内部逻辑（严谨与抽象）的自我驱动共同作用的结果，并由现代大学制度的建立提供了制度保障。那个时代的数学家们，幸运地站在一个拐点上：他们既享受着探索未知物理世界的巨大乐趣，又初尝了创造全新数学结构的无比自由。这种双重驱动力，塑造了那个时代独特而浓烈的智力热情，为我们今天的数学大厦奠定了几乎所有的基石。

数学人生