辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（百度播客讲解）

朱明君

辐边总和公式及其在二维平面图着色中的应用（完整简洁版）
朱火华
摘要：本文提出一种解决二维平面图着色问题的新范式。通过将平面图视为轮构型模块的叠加，并引入“辐边总和公式”作为量化工具，建立了原图与单中心轮图之间双向转换的几何流程。该流程保证了转换前后图的结构与着色功能完全等价，从而将复杂的平面图着色问题归约为已解决的轮图着色问题，为四色定理提供了一个构造性的系统解决方案。
关键词：二维平面图；辐边总和公式；轮构型；图着色；四色定理

1.引言 二维平面图的着色是图论中的经典难题。四色定理表明任何平面图均可四色着色。本文提出辐边总和公式，通过将任意平面图（原图）简化为结构功能等价的单中心轮图（新图），实现着色过程的规范化与简化。其中，辐边总和数 = 新图的辐边数 = 环上节点数 = 环边数。新图与原图的双向可转换性及功能等价性，确保了着色结果的有效映射。

1.辐边总和公式与图结构转换
2.1辐边总和公式 （本公式为纯代数公式，与传统图论中的欧拉公式分属不同体系。）
核心观点是：所有二维平面图均由轮构型模块通过点、边共享叠加构成。辐边总和公式旨在将其转换为单中心轮图以简化着色。
基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)
适用范围：由外向内两层及以上环加中心区域的标准二维平面图(包括含孔洞)。计算时，各轮构型辐边独立计算后相加。
参数：n为节点总数 (n ≥ 4)，m为外围节点数 (m ≥ 2)，d为第二层环节点数 (d ≥ 2)，w为辐边数 (w ≥ 6)。
公式起源：系数6源于最小解（n=4, m=d=2时，w=6）；“减1”是减去围内一个基准值。
特殊情形：
若 m = d，则 w = 6(n - m - 1)
若 m = d = 3，则 w = 6(n - 4)

2.2 普适公式与虚拟环构建 为覆盖所有平面图类型（包括含孔洞、亏格曲面、多面体等非标准图），引入双层虚拟环（总节点数6，每层3节点）进行标准化处理。
普适公式：w = 6(n新 - 4) · 参数：n原为原始图节点数 (n原 ≥ 0)；n新 = n原 + 6为添加虚拟环后的新图节点总数。
关键保障：虚拟环的添加与移除不改变原图的着色属性，新图着色结果可被原图继承，且色数 ≤ 4。

2.3 原图与新图的结构转换
2.3.1 原图到新图的转换
1. 分解：将原图分解为N个（围内节点数）变形轮构型，记录其几何形状。
2. 标准化：通过“皮筋伸缩”操作，将变形轮构型还原为标准轮构型。
3. 扇化：于各标准轮构型外环上一节点的单侧与边连接处断开，通过伸缩形成扇形。中心节点成为扇钉或点片，扇形两端分别为节点端与边端（辐边为扇骨，环边为扇纸）。
4. 拼接：将所有扇形的扇柄（中心点）叠加，并将扇形边缘（节点端与边端）首尾相连，形成单中心轮图。

2.3.2 新图到原图的转换 此为可逆过程：将新图分解为扇形，还原为标准轮构型，再通过点边叠加恢复原图结构，确保结构等价性。

3.单中心轮图的最优着色方案 着色方案由新图环的奇偶性及原图轮构型特性共同决定：
奇环轮图 (n=2m+1)：需4色。环上节点用2色交替着色m次，剩余1节点用第3色，中心节点用第4色。
偶环轮图 (n=2m)：通常需3色。环上节点用2色交替着色m次，中心节点用第3色。
关键约束：若原图中存在任一奇轮构型模块，则新图即使为偶环也必须采用4色方案，此为保证着色结果能无冲突映射回原图的核心条件。

4原图与新图的功能等价性
4.1 原图到新图的颜色统一 若原图各轮构型中心节点颜色不一致，选取占比最多的颜色作为新图中心色，其余轮构型通过环上与中心节点的颜色互换实现统一。
4.2 新图到原图的颜色复原 若新图中心色与原图记录冲突，通过新图中心与环上节点的颜色互换使其一致。
4.3 无冲突直接替换 无颜色冲突时，可直接进行中心颜色替换以简化流程。
4.4 着色保障 偶环3至4色的灵活性确保了双向转换的成立。

结论 本文提出的辐边总和公式与轮构型转换框架，通过虚拟环包裹与双向等价转换，将平面图着色问题系统性地归约为单中心轮图着色。该理论不仅为四色定理提供了构造性证明思路，更建立了一种可拆解、可量化的图结构分析新范式，具有重要的理论价值与应用潜力。

附录：公式扩展应用与补充说明
1.非标准图（含孔洞）修正： 修正项：z = (N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内) (N:边数和, v:孔洞个数)
修正公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) - z
2. 单层外围环结构修正：
以三边形为模，理论边数 e理论 = 2d - 3 (d为围内节点数)。比较实际边数 a 与 e理论 引入修正项 ±z。 综合公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d) ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
3. 普适简化公式：
适用于单/多层外环加中心区结构：w = n + 3d - 4 ± z - [(N外 - 3v外) + 2(N内 - 3v内)]
此处修正项 ±z 基于树型模理论边数 e理论 = d - 1 的比较。

重要注记：本公式体系适用于平面图，对Kn全阶图（如K5, K3,3等非平面图）不适用。

辅助计算公式（与传统欧拉公式无关）
设 n 为节点数，m 为外围节点数。
三边形个数：a = (n - 2) + (n - m)
边的个数：e = 2n + (n - m - 3)

核心要点总结
1，核心目标：通过「辐边总和公式」与「轮构型转换」，将复杂二维平面图着色问题归约为单中心轮图着色，为四色定理提供构造性解决方案。
2，核心公式： 基础公式：w = 6(n - m - 1) + (m - d)（适用于标准二维平面图，含孔洞），w为辐边数，n总节点数，m外围节点数，d第二层环节点数。 普适公式：w = 6(n新 - 4)（n新 = n原 + 6），添加双层虚拟环，覆盖立体图、非连通图等所有平面图类型）。
3，双向转换流程： 原图→新图：分解轮构型→标准化→扇化→拼接为单中心轮图。 新图→原图：逆向拆解还原，保证结构与着色功能等价。
4，着色方案： 奇环轮图：4，着色方案（环2色交替+1个第3色，中心第4色）。 偶环轮图：常规3色（环2色交替+中心第3色），若原图含奇轮构型则需4色。
5.核心优势：摆脱欧拉公式依赖，纯代数量化；自动处理孔洞，覆盖全场景；着色流程规范化，结果可双向映射。

1. 范式创新：从存在性证明转向构造性解决方案
2. 系统设计：分层处理与万能覆盖的有机统一
3. 实用导向：为实际应用提供可操作的数学工具

朱明君

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