\(\Huge\color{red}{再論只要極限存在，就一定可達}\)

春风晚霞

        什麼是極限可達？我們稱函數和自變量同時到達極限的情形叫極限可達(參見徐利治《論無限》P22頁第1行)。为讨论极限的可达性，极限表达式可用颜色把它分成三个重要的组成部分：\(\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\)\(\color{Magenta}{a_n=a}\)，其中lim是英语单词limit的缩写，词意为：[n].限制;(地区或地方的)境界，界限，范围;极限;限额;限度;限量;[vt.]. 限制;限定;限量;减量;
【例句】:He was driving at well over the speed limit.
他当时开车的速度远远超过了限制。
[词组]. lower limit；下限；upper limit；
上限：legal limit；法定限度.【数】；根限值。
(参阅《新英汉词典增补本》上海译文出版社P739页、《牛津高阶英汉双解词典》牛津大学出版社P1174页)。
\(\qquad \color{red}{n→∞}\) 表示变量n趋向于无穷；\(\color{Magenta}{a_n=a}\)表示在变量n趋向于无穷时所取得的极限值.
        于是我们可得极限可达的符号表达式:
\(\qquad\displaystyle\lim_{\color{red}{n→∞}}\color{Magenta}{a_n=a}\Longleftrightarrow\color{Magenta}{a_n=a}(\color{red}{n→∞})\)\(\qquad\)(*)
       现在我们证明(*)式成立：
       (1)、【证明】（充分性）
       因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，由\(\varepsilon\)的任意性有\(a_n=a\).即\(\color{red}{当n→∞时a_n=a}\).【充分性证毕】
     （2）、【证明】（必要性）反证法  假设\(\color{red}{当n→∞时a_n≠a}\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈\)\(N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)矛盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证畢】
        综合(1)、(2)知(*)式成立

春风晚霞

李利浩 发表于 2026-10-29 21:13
请问春风晚霞先生，根据无限的性质，无限减去有限，还是等于无限，能否说明，1相对于无穷，如同0相对于无穷 ...

李利浩先生：【根据无限的性质，无限减去有限，还是等于无限】，不能说明【1相对于无穷，如同0相对于无穷】，因为1和0均为有限数！当n趋向于无穷时，n分之一为0的证明可用极限定义和反证法给予证明。

春风晚霞

李利浩 发表于 2026-10-29 21:02
就无限和有限的关系打个比方，请问春风晚霞先生，没有你的父母，何来的你的子子孙孙？

李利浩先生：你有你母，也有孙子。但你不能把你父母比方成你的孙子！

李利浩

请问春风晚霞先生，根据无限的性质，无限减去有限，还是等于无限，能否说明，1相对于无穷，如同0相对于无穷，从而得出当n趋向于无穷时，n分之一为0？

李利浩

就无限和有限的关系打个比方，请问春风晚霞先生，没有你的父母，何来的你的子子孙孙？

李利浩

李利浩 发表于 2026-10-28 21:38
我上面说的有效位数指的是，构成一个无限小数所有位数因素的总和，当然前提是，0是否是小数点后位数上的 ...

小数点后位数上的数字随着位数的增加，将越变越小，向0靠近，并且这种趋势无法改变，不就说明了o必定是任何现实中存在的数的小数点后部分的最后一位吗？

春风晚霞

恩格斯认为：数学一谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立。（参见恩格斯《自然辩证法》2018年中文版190页）。所以李先生用有限范围内的认知来讨论无限小数，必然存在质的差异。故其方法不可取！

李利浩

春风晚霞 发表于 2026-10-28 14:06
答：任何一个无限小数，都没有后一位。有效数位这个概念是有限小数的概念。不是无限小数的概念。

我上面说的有效位数指的是，构成一个无限小数所有位数因素的总和，当然前提是，0是否是小数点后位数上的最后一位这是区分一个数是否是无限小数的标准。

李利浩

春风晚霞 发表于 2026-10-28 14:04
答：纯数学本身就是在理想状态下研究客观世界形数关系的学科。圆周率如斯\(\tfrac{1}{3}\)=0.333…，1= ...

恕我直言，无限小数纯粹只是意识的产物

李利浩

当然16楼说的是无限小数

李利浩

春风晚霞 发表于 2026-10-28 14:03
答：4>1,0.4>0.1,0.1>0.04

上面的问题，不就说明小数点后位数上的不为0的数大小与本身大小无关，而由所在位数的长短决定吗？