微积分趣话（6）——符号的力量

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微积分趣话（6）——符号的力量

原创  刘林  一个独立的教书手艺人  2026 年 3 月 3 日 15:58  浙江

1684 年，莱布尼茨发表了他的微积分系统。此时，牛顿已经用他自创的“流数术”秘密探索了近二十年。两人的工作虽然独立，却开启了一场关于“第一发明人”的漫长争议，1712 年，在牛顿的幕后操控下，英国皇家学会成立的调查委员会判定：牛顿是第一发现者，莱布尼茨是从牛顿的信中得知了微积分的基本定理。但历史最终的裁决，远比个人荣誉的归属更为深刻。今天，所有教科书印着的都是莱布尼茨的符号：dx 、∫ 、dy/dx 。牛顿那套以点号为核心的流数记法，除了在一些物理学领域还在使用外，大多数时候都静静地留在了科学史的文献里。


微积分常用符号

牛顿的“流数术”，更像是一门只为天才准备的武功。他的记号高度依赖物理直觉，推导过程深埋在几何图像和物理原理中。它很强，但问题是，除了牛顿和那些顶尖的物理学家，其他人很难理解并运用它。


牛顿的“流数术”手稿

莱布尼茨走了一条和牛顿完全相反的路。莱布尼兹曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。”他设计的不是“个人表达”，而是一套可以被反复运用的符号体系，运算步骤可以拆解、复现：

导数被写成“变化的比值”dy/dx ；

积分被写成“连续求和”∫ ；

莱布尼茨的符号体系，使人们更好也更容易理解并掌握微积分知识，运用这套符号并不要求你是天才，它只要求你遵守运算规则。在这套体系下，养出了一代又一代的数学家，直接引爆了分析学、力学、工程学的全面扩张。莱布尼茨除了创立微积分符号，还创立了商“a/b”，比“a : b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符号。莱布尼茨可以说是一个使用符号的大师。


莱布尼茨的微积分手稿，莱布尼茨创立的微积分符号使用至今

微积分里，符号本身就是意义。微积分是描述变化的语言。当你按下 d 这个“微分”按钮 ，我们不再直接处理整体连续曲线，而是用局部线性切片来理解变化，莱布尼茨用 dy 、dx 来表示微小变化量，用无限小三角形的底边和高之比来计算切线的斜率：dy/dx 。莱布尼茨认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果，且把这个函数的增量叫做微分，用字母 d 表示，d 是“differential”（差）的首字母。



“∫”是莱布尼茨创下的积分符号，是拉丁文 Summa（和）的首字母拉长的写法，表示对曲线下面积、曲面体积等复杂形状微分为无穷多个无穷小的部分进行求和运算，积分的本质是无穷小的和。莱布尼茨用纵轴 y 乘以横轴 dx 的细长矩形的面积来求曲线下面积的总和，这真是一个天才的想法，把一个极其复杂的问题一下子简单化了。



极限符号 lim 源于拉丁文“limes”（极限），缩写为“lim”。1786 年瑞士数学家鲁易理（Lhuillier）首次引入，后人不断完善，发展了长达 122 年之久，由英国数学家哈代（Haddy）的完善极限符号才成为今天通用的符号。“∑lim”表示极限求和。



将 8 水平置放成“∞”来表示“无穷大”符号。罗马人将“∞”表示为 1000 ，后来用于表示任意的非常大的数，无穷大。牛津大学的教授约翰·威廉在公元 1665 年第一次将这个符号表示为无限。但该符号直至 1713 年贝努利使用它之后，才被广为采纳。“∞”这个符号和莫比乌斯带很契合，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就会永远无穷无尽地一直走下去，永无尽头。


循环往复永无尽头的莫比乌斯带

“f(x)”表示原函数，“f＇(x)”表示导函数，“∫”表示一重积分，“∫∫”表示二重积分，“∫∫∫”表示三重积分，“∑”表示求和，“∑lim”表示极限求和，表示求偏导数，它主要用于多元函数（即含有多个自变量的函数）的微分运算，表示在求导时只对某一个特定的变量进行微分，而将其他变量视为常数。

1673 年，当莱布尼茨创立了“微积分”一词时，他的原话是“a calculus”（一个微积分），有时还会更亲切地称它为“my calculus”（我的微积分）。微积分指的是一种用于执行计算的规则和算法体系。后来，在莱布尼茨的微积分体系得到高度完善之后，与之相伴的冠词升级为定冠词，被正式称为“the calculus”（微积分）。现在它的冠词和所有格全都消失了，虽然只剩下单调苍白的“calculus”，但“calculus”（微积分）的力量却依然强大。

“calculus”这个词源自拉丁词根 calx，意指一块小石头，医生也会用“calculus”这个词来指代牙结石、胆结石、肾结石和膀胱结石。特别黑色幽默的是，牛顿和莱布尼茨这两位微积分先驱都死于给他们造成极大痛苦的“calculus”：牛顿患有膀胱结石，而莱布尼茨患有肾结石。

一个独立的教书手艺人