【学数学】遇见几何大师施瓦茨：为什么课本不教他，但考试都在考？

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【学数学】遇见几何大师施瓦茨：为什么课本不教他，但考试都在考？

原创  数学工作坊  数学工作坊  2026 年 4 月 27 日 10:00  上海


“几何，是寻找最优解的艺术”——赫尔曼·施瓦茨（1843.4.27 — 2026.4.27）

引言

1843 年 4 月 27 日，一位改变几何世界的数学家诞生了。最短路径题、三角形最值题，背后都站着同一个人——赫尔曼·施瓦茨。

几何是什么？在很多同学眼里，它是画不完的辅助线、算不完的边长、以及永远差一步的证明题。

但在一百多年前，德国数学家赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（1843-1921）眼中，几何是一套“最优解”的密码。

他不关心这条线有多长，他关心怎样画最短；他不关心这个三角形长什么样，他关心怎样剪裁周长最小。

今天，我们就用施瓦茨的视角，重新打开中小学几何——你会发现，90% 的压轴题，其实都在问同一类问题。

01  改变直觉的问题：三角形里藏着最小三角形

给你一个锐角三角形，在里面画一个内接三角形（三个顶点分别在大三角形的三条边上）。你能画出很多个。

问题来了：哪一个小三角形的周长最短？

凭直觉，很多人会猜是连接三边中点的三角形。但施瓦茨说：不对。

他证明了一个漂亮结论：施瓦茨三角形周长最短。

什么是施瓦茨三角形呢？如何作出它呢？请看下述的作图步骤！

标准作图步骤（可以用尺规跟着做）：

1. 画一个锐角 ΔABC 。

2. 分别过 A、B、C 作对边的垂线，得到三个垂足 D、E、F 。

连接 D、E、F ，ΔDEF 就是施瓦茨三角形。



实测验证： 你可以在 ΔABC 内任意画其他内接三角形，测量周长——没有比 ΔDEF 更小的。

施瓦茨三角形相关公式与例题：

已知锐角 ΔABC 的外接圆半径为 R ，面积为 S ，则施瓦茨三角形的周长 L 满足：



例题： 若 ΔABC 面积 S=24cm^2 ，外接圆半径 R=4cm ，求施瓦茨三角形周长。



02  施瓦茨的“极值思维”：几何题都在问这三件事

施瓦茨一生的研究，可以用一个词概括：极值。



所以，当你下次遇到“最小”“最短”“最大”这类词时，心里要知道：你在做施瓦茨当年研究的几何极值问题。

03  施瓦茨怎样看待最短路径？

课本里“将军饮马”问题的标准做法是：作对称点，再连线。

施瓦茨把它往前推了一步：如果不止一个点、不止一条线呢？他的方法仍然有效：把路径“拉直”，把折线变直线。

实操例题：

直线 L 同侧有 A、B 两点。A 到 L 距离 AC=3cm ，B 到 L 距离 BD=5cm ，两点水平距离 CD=4cm 。从 A 到 L 上一点 P 再到 B ，最短路径多长？

解（如下图）：



作 A 关于 L 的对称点 A' 。

连接 A'B ，交 L 于 P 。

AP+PB 路径长 = A'B 长度 。

构造直角三角形 A'BF ：

竖直方向 BF=BD+DF=BD+CA'=3+5=8cm（因为对称后 A' 到 L 距离也是 3cm），

水平距离 A'F=CD=4cm ，



04  代数与几何的握手：施瓦茨不等式

施瓦茨不仅研究图形，还打通了代数和几何。他提出了一个著名的施瓦茨不等式。

在中小学阶段，我们可以记住它的二维简化形式：



几何意义： 向量点积 ≤ 长度乘积。

例题验证： a=3, b=4, x=1, y=2 。

左边 = (9+16)×(1+4) = 25×5 = 125 ，

右边 = (3+8)^2 = 11^2 = 121 ，

125 ≥ 121，成立。

05  用施瓦茨的方法学几何：4 个可落地的实操任务

光看不练，几何白学。下面是 4 个零门槛实操任务，每一件事都能真正“做”出来：

1. 画一个施瓦茨三角形：任意锐角三角形 → 作高 → 连垂足 → 测量周长，验证它周长最小。

2. 将军饮马实物模拟：在纸上画一条直线和两点，用对折的方法找 P 点，再用直尺验证路径最短。

3. 不等式自测：自己出三组数字，代入施瓦茨不等式，验证是否总成立。

4. 寻找生活中的施瓦茨模型：屋顶支架、最短路线导航、包装盒设计——拍照或画图，标注对应知识点。

06  写在最后：为什么我们要记住施瓦茨？

数学不是背公式，而是学会问一个问题：“这是最好的吗？”

施瓦茨用一生告诉我们：几何的核心，不是画线，而是寻找最优解。

下次你遇到一道“最短路径”题，可以默默想一句：

“这就是施瓦茨研究过的问题。”

你会发现自己不再怕它，反而有点亲切。

这就是数理科普的意义：不是让你背更多，而是让你理解更少、更关键的东西。

撰稿丨王世凡 肖茹元

编辑丨王世凡 肖茹元

特别编辑丨管哲

总责 | 沈澜 冯芊芊