狄奥尼索多罗斯 Dionysodorus ——圆锥曲线求解三次方程的几何先驱

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狄奥尼索多罗斯 Dionysodorus ——圆锥曲线求解三次方程的几何先驱

原创  老唐学数学  2026 年 4 月 27 日 09:51  广东

摘要

狄奥尼索多罗斯（约公元前 250 — 前 190 年）是希腊化时代的数学家，以运用圆锥曲线求解三次方程而著称。他利用抛物线与直角双曲线的交点，解决了阿基米德《论球与圆柱》中提出的“将球体按给定比例切割”问题，构造出所需的平面。该解法展现了古希腊几何学处理高次方程的代数等价能力。

在几何测度方面，他计算了圆环面（轮胎面）的体积，证明其等于生成圆的面积乘以圆心轨迹圆的周长——这一结果本质上是帕普斯-古尔丁定理的早期特例，体现了阿基米德积分方法的延续。

他还可能发明了圆锥形日晷，其研究因赫库兰尼姆纸莎草纸文献的出土而得以确认身份。历史上的狄奥尼索多罗斯不止一人，经文献考证，这位数学家应是来自考诺斯、活跃于阿波罗尼奥斯时代的学者。

狄奥尼索多罗斯以圆锥曲线为钥匙，打开了立体几何与方程求解之间的隐秘通道。

基本信息速览 Quick Info

● 出生： 约公元前 250 年，小亚细亚卡里亚地区考诺斯（今土耳其境内）

● 逝世： 约公元前 190 年

人物小传 Summary

狄奥尼索多罗斯 是一位希腊数学家，他利用抛物线和双曲线的交点求解了一个三次方程。

传记 Biography

名叫狄奥尼索多罗斯的数学家不止一位，这确实给确定每个人的具体研究带来了一点困难。希腊地理学家和历史学家斯特拉博（约公元前 64 年—约公元 24 年）描述了一位出生于本都地区阿米塞涅（位于安纳托利亚东北部黑海沿岸）的数学家狄奥尼索多罗斯。

我们这里感兴趣的狄奥尼索多罗斯，是欧托基乌斯提到的那位数学家，他利用抛物线和双曲线的交点求解了三次方程。这与阿基米德在《论球与圆柱》中提出的一个问题有关。直到本世纪初，人们一直认为欧托基乌斯所指的狄奥尼索多罗斯就是斯特拉博描述的阿米塞涅的狄奥尼索多罗斯。

还有一位狄奥尼索多罗斯出现在普林尼的著作中。普林尼在《自然史》中提到一位名叫狄奥尼索多罗斯的人测量了地球半径，给出的值为 42,000 斯塔德。斯特拉博将这位狄奥尼索多罗斯与阿米塞涅的狄奥尼索多罗斯区分开来，现在人们认为普林尼所指的狄奥尼索多罗斯不是那位求解三次方程的数学家。有趣的是，普林尼因公元 79 年维苏威火山爆发而丧生，正是这次火山爆发导致关于一位名叫狄奥尼索多罗斯的数学家的新信息于 1900 年被公布。

这些新信息是由 W·克勒内特在赫库兰尼姆发现的一份纸莎草纸文献中发现的。公元 79 年维苏威火山爆发时，赫库兰尼姆与庞贝和斯塔比亚一起被摧毁。赫库兰尼姆被大约 16 米深的致密物质掩埋，这使该城得以保存，直到 18 世纪开始挖掘。地面湿度的特殊条件保存了木材、布料、食物，尤其是为我们提供了重要信息的纸莎草纸文献。一份纸莎草纸文献记载（见[3]）：

菲洛尼德斯最初是欧德摩斯的学生，后来师从狄奥尼索多罗斯，即考诺斯的狄奥尼索多罗斯之子。

这里的欧德摩斯即帕加马的欧德摩斯，阿波罗尼奥斯将其《圆锥曲线论》的前两卷献给了他，并在第二卷的引言中请欧德摩斯将此书展示给菲洛尼德斯。由此我们可以推断狄奥尼索多罗斯的年代略晚于阿波罗尼奥斯。纸莎草纸文献中还有一处有趣的评论，称菲洛尼德斯出版了他老师狄奥尼索多罗斯的一些讲义。

在克勒内特公布了在赫库兰尼姆发现的与狄奥尼索多罗斯有关的纸莎草纸残片细节后不久，施密特对这些材料发表了一篇评注，令人信服地论证了那位利用抛物线与双曲线交点求解三次方程的狄奥尼索多罗斯，正是赫库兰尼姆纸莎草纸文献中提到的考诺斯的狄奥尼索多罗斯。考诺斯位于卡里亚，即现在的土耳其境内。它靠近阿波罗尼奥斯的出生地潘菲利亚的佩尔加。

欧托基乌斯描述的用抛物线和直角双曲线将球体按给定比例切割的方法，归功于狄奥尼索多罗斯。这是一个优美的构造，在下面的描述中，我们基本上遵循了欧托基乌斯描述的方法（另见[1]和[3]）。



设 AA′ 是以 O 为球心的球的直径。我们想找到一个平面，将球体分成 m : n 的比例。在 A′A 的延长线上取一点 F，使得 FA = AO 。作 AG 垂直于 AA′ ，其中 G 点满足 FA : AG = (m+n) : n 。在 AG 上取 H 点，使得 AH^2 = FA · AG ，并绘制以 F 为顶点、经过 H 的抛物线。绘制以 G 为点、以 x 轴和 y 轴为渐近线的直角双曲线。设双曲线与抛物线交于点 P ，作 PM 垂直于 AA′ 。然后狄奥尼索多罗斯证明，过 M 且以 AA′ 为法线的平面将以给定比例 m : n 切割球体。

海伦也提到狄奥尼索多罗斯是《论圆环面》一书的作者，根据其主题，几乎可以肯定这是由我们在这里描述的这位狄奥尼索多罗斯所著。在这部著作中，狄奥尼索多罗斯计算了圆环面的体积，并证明它等于生成圆的面积乘以圆心绕旋转轴旋转所画出的圆周长。显然，狄奥尼索多罗斯在证明他的结果时使用了阿基米德的方法。

据信狄奥尼索多罗斯发明了一种圆锥形日晷。这份报告没有明确说明这是哪一位狄奥尼索多罗斯，但这里描述的狄奥尼索多罗斯研究过圆锥曲线这一事实，使得他也很可能是研究圆锥形日晷的那个人。文献[2]讨论了狄奥尼索多罗斯日晷可能采取的形式。文献[1]中给出了一个推测性的重构。

参考文献 References

1.  I·布尔默-托马斯，《科学传记词典》中的传记（纽约，1970-1990）。请参见此链接。

2.  F·D·卡曾斯，《日晷》（伦敦，1969 年）。

3.  T·L·希思，《希腊数学史》第二卷（牛津，1921 年）。

4.  I·托马斯，《希腊数学史资料选编》第二卷（伦敦，1941 年）。

5.  W·施密特，《论希腊数学家狄奥尼索多罗斯》，《数学文献》4 (1904)，第 321-325 页。

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