古代应用数学与蒸汽动力的先驱：亚历山大里亚的希罗 Heron of Alexandria

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古代应用数学与蒸汽动力的先驱：亚历山大里亚的希罗 Heron of Alexandria

原创  老唐学数学  2026 年 5 月 13 日 10:27  广东

摘要

亚历山大里亚的希罗（约公元 10-75 年）是罗马时期的几何学家、力学家，被誉为“古代蒸汽机的发明者”。他的著作《度量论》包含了著名的海伦公式（已知三边求三角形面积），并给出了平方根与立方根的近似算法。其《气动学》描述了超过 100 种机械装置，包括“气转球”——历史上第一台将蒸汽转化为旋转运动的引擎，被视为喷气发动机的雏形。他还制造了自动剧场、投币机、消防泵等。

实用数学：希罗的《度量论》《测距仪》《力学》系统总结了几何测量、重心计算与杠杆原理，强调理论与工程结合。他推测公元 62 年的一次日食精确定位了其生活年代。

历史地位：希罗的著作长期作为实用手册流传，影响了阿拉伯与欧洲文艺复兴。尽管其理论深度不及阿基米德，但他作为应用数学与实验传统的代表，是连接古代科学与技术文明的关键桥梁。月球上的“希罗陨石坑”以他命名。

基本信息速览 Quick Info

● 出生： 约公元 10 年，（可能在）埃及亚历山大里亚

● 逝世： 约公元 75 年

人物小传 Summary

希罗（或译亚历山大里亚的希罗）是一位重要的几何学家和力学工作者，他发明了许多机械，包括一台蒸汽涡轮机。他最著名的数学成果是以三角形边长表示其面积的公式。





传记 Biography

有时被称为希罗，亚历山大里亚的希罗是一位重要的几何学家和力学工作者。也许首先要说明的是，希罗这个名字在当时非常普遍，在数学史上，要确定文献中提到的希罗哪些是本文描述的数学家，哪些是同名的其他人，是一个困难的问题。还有其他的识别问题，我们将在下面讨论。

关于希罗的一个主要困难是确定他生活的年代。对此有两种主要观点：一种认为他生活在公元前 150 年左右，另一种认为他生活在公元 250 年左右。第一种主要基于希罗没有引用任何晚于阿基米德的著作。第二种基于一个论证，该论证试图表明他生活在托勒密之后，并且由于帕普斯提到过希罗，所以他生活在帕普斯之前。

这两种论证都已被证明是错误的。还有人提出了第三个日期，基于认为希罗与科卢梅拉是同时代人。科卢梅拉是一位罗马士兵和农民，撰写了大量关于农业和类似主题的著作，希望激发人们对农业和简朴生活的热爱。科卢梅拉在约公元 62 年的一篇文本中（见[5]）：

……给出了平面图形的测量值，这些值与希罗使用的公式一致，特别是等边三角形、正六边形（在这种情况下，不仅是公式，而且实际数值也与希罗的一致）以及小于半圆的弓形……

然而，大多数历史学家认为科卢梅拉和希罗都在使用一个更早的资料，并声称相似性不能证明任何依赖关系。我们现在知道，那些相信希罗生活在科卢梅拉时代的人实际上是正确的，因为诺伊格鲍尔在 1938 年发现，希罗在他的某部著作中提到了一次近期的日食，根据希罗给出的信息，他能够确定这次日食发生在公元 62 年 3 月 13 日 23:00 的亚历山大里亚。

从希罗的著作中可以合理地推断，他曾在亚历山大里亚的博物馆任教。他的著作看起来像是他一定在那里开设的数学、物理学、气动学和力学课程的讲义。有些显然是教科书，而另一些则可能是尚未为学生教科书定稿的讲义草稿。

帕普斯在其《数学汇编》第八卷中描述了希罗的贡献。帕普斯写道（例如见[8]）：

希罗学派的机械学家说，力学可以分为理论部分和实践部分；理论部分由几何学、算术、天文学和物理学组成，实践部分由金属加工、建筑、木工、绘画以及任何涉及手工技能的活动组成。

……古人也将那些创造奇迹的工匠描述为机械学家，其中一些人通过气动学工作，如希罗在他的《气动学》中所述，一些人使用绳索和绳子，试图模仿生物的运动，如希罗在他的《自动装置》和《平衡装置》中所述，……或者使用水来计时，如希罗在他的《水钟》中所述，这似乎与日晷科学有相似之处。

希罗的大量著作幸存至今，尽管其中一些的作者身份存在争议。我们将在下面的希罗著作列表中讨论一些分歧。这些著作分为几类：技术著作、机械著作和数学著作。幸存的作品有：

1. 《论测距仪》：论述经纬仪和测量。包含一章天文学，给出了一种利用在两地观测到月食的地方时差来求亚历山大里亚和罗马之间距离的方法。托勒密似乎不知道这种方法，这一事实导致历史学家错误地认为希罗生活在托勒密之后。

2. 《气动学》：共两卷，研究由空气、蒸汽或水压驱动的机械装置。下文将更详细地描述。

3. 《自动剧场》：描述了一个由绳子、鼓和重物驱动的木偶剧场。

4. 《攻城器械学》：描述如何制造战争机械。与菲隆的著作以及生活在公元前一世纪的罗马建筑师和工程师维特鲁威的著作有一些相似之处。

5. 《手弩炮》：关于弩炮，被认为是弩炮词典的一部分，但几乎可以肯定不是希罗所写。

6. 《力学》：共三卷，为建筑师而写，下文将更详细地描述。

7. 《度量论》：给出了测量方法。下面我们给出更多细节。

8. 《定义》：包含 133 个几何术语的定义，从点、线等开始。在文献[15]中，诺尔令人信服地论证，这部著作实际上应归功于丢番图。

9. 《几何学》：似乎是《度量论》第一章的一个不同版本，完全基于实例。虽然基于希罗的著作，但被认为不是他写的。

10. 《立体几何》：测量三维物体，至少部分基于《度量论》的第二章，同样基于实例。同样被认为基于希罗的著作，但被许多后来的编辑大大改变了。

11. 《测量》：测量各种不同的物体，与《立体几何》和《度量论》的部分内容有关，但主要应是后世作者的作品。

12. 《反射光学》：论述镜面，一些历史学家归功于托勒密，尽管现在大多数人似乎都认为这是希罗的真作。在这部著作中，希罗断言视觉源于眼睛发出的光线。他认为这些光线以无限大的速度传播。

让我们更深入地审视希罗的一些著作。他的论著《度量论》第一卷处理三角形、四边形、3 至 12 边的正多边形、圆锥、圆柱、棱柱、棱锥、球体等的面积。还给出了一种近似数字平方根的方法，巴比伦人在 2000 年前就知道这种方法。希罗以如下形式给出（例如见[5]）：

由于 720 没有有理数的边，我们可以用非常小的误差得到它的边，如下所示。由于下一个平方数是 729 ，其边长为 27 ，用 720 除以 27 。得到 26 又 2/3 。将此与 27 相加，得到 53 又 2/3 ，取一半，即 26 又 5/6 。因此720的边长将非常接近 26 又 5/6 。事实上，如果我们用 26 又 5/6 自乘，积是 720 又 1/36 ，所以平方的差是 1/36 。如果我们希望使差比 1/36 更小，我们将用 720 又 1/36 代替 729（或者更确切地说，我们应该用 26 又 5/6 代替 27），并以同样的方式继续进行，我们将发现由此产生的差远小于 1/36 。

希罗还在《度量论》第一卷中证明了他著名的公式：

如果 A 是边长为 a 、b 和 c 的三角形的面积，且 s = 1/2(a + b + c) ，则 A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c) 。

在《度量论》第二卷中，希罗考虑了各种三维图形（如球体、圆柱体、圆锥体、棱柱、棱锥等）的体积测量。他的序言很有趣，部分原因是阿基米德著作的知识似乎并不像人们可能期望的那样广为人知（例如见[5]）：

在测量了直线形或非直线形的表面积之后，继续研究立体图形是恰当的，这些立体的表面我们已经在前面一卷中测量过了，包括平面和球面、圆锥面和圆柱面，以及不规则曲面。鉴于这些处理立体图形的方法的惊人特性，某些作家将其起源的传统叙述归功于阿基米德。但无论它们属于阿基米德还是他人，也有必要对这些结果做一个概述。

《度量论》第三卷处理按给定比例划分面积和体积。这是欧几里得在其著作《论图形的分割》中研究过的问题，希罗的第三卷与欧几里得的著作有很多共同之处。同样在第三卷中，希罗给出了一种求数字立方根的方法。特别是，希罗求出了 100 的立方根，文献[9]的作者给出了希罗似乎在他计算中使用的一个求 N 的立方根的通式：



在文献[9]中，评论说这是一个非常精确的公式，但是，除非拜占庭的抄写员因错误而应受指责，否则他们得出结论，希罗可能借用了这个精确公式，但不理解如何一般地使用它。

《气动学》是一部奇怪的作品，分两卷写成，第一卷有 43 章，第二卷有 37 章。希罗以对流体压力的理论考虑开始。这些理论有些是正确的，但不出所料，有些则是完全错误的。然后接着描述了整个系列，最好将其描述为给孩子们的机械玩具（见[1]）：

分别或按恒定比例流出酒或水的戏法罐子、唱歌的鸟和吹响的号角、在祭坛上点火时移动的木偶、被喂水时饮水的动物……

尽管这一切对于科学家来说似乎非常琐碎，但希罗似乎正在利用这些玩具作为向学生教授物理学的载体。这似乎是一种尝试，使科学理论与当时学生熟悉的日常物品相关联。

颇为引人注目的是，书中描述了超过 100 种机器，例如消防泵、风琴、投币机，以及一种名为“气转球”的蒸汽动力发动机。希罗的气转球与现代喷气发动机有很多共同之处，在文献[2]中描述如下：

气转球是一个空心球体，安装方式使其能够在一对空心管上转动，这些空心管将蒸汽从锅炉输送到球体。蒸汽从球体赤道处伸出的一个或多个弯管中喷出，导致球体旋转。气转球是已知的第一个将蒸汽转化为旋转运动的装置。

希罗撰写了几部关于力学的重要论著。它们给出了提升重物的方法，并描述了简单的机械。特别是，《力学》相当紧密地基于阿基米德的思想。第一卷考察了如何构造与给定形状成给定比例的三维形状。它还考察了运动理论、某些静力学问题以及平衡理论。

在第二卷中，希罗讨论了用杠杆、滑轮、楔子或螺丝提升重物。还有关于平面图形重心的讨论。第三卷考察了通过雪橇、起重机等工具运输物体的方法，并研究了压榨机。

还有其他著作被归功于希罗，其中一些我们只有残篇，另一些只有提及。有残篇幸存的作品包括一部四卷本的《水钟》和一部《欧几里得〈几何原本〉评注》，后者必定至少涵盖了《原本》的前八卷。被提及但没有踪迹幸存的作品包括欧托基乌斯提到的《拱顶》和帕普斯提到的《论平衡》。此外，在十世纪伊斯兰文化调查的《书目》中，提到了希罗关于如何使用星盘的一部著作。

最后，看看不同作家对希罗的质量和重要性所表达的观点是很有趣的。诺伊格鲍尔在文献[7]中写道：

对数学楔形文字文本的解密清楚地表明，许多“希罗”式的希腊数学仅仅是延续了 1800 年的巴比伦数学传统的最后一个阶段。

有些人认为希罗是一个无知的工匠，他照抄了书中的内容却不理解他所写的东西。这一点尤其针对《气动学》，但德拉赫曼在文献[1]中写道：

……对我来说，自由流畅、相当散漫的风格表明他是一个精通自己学科的人，正在向了解或应该被假定了解该学科很多内容的听众快速总结。

一些学者称赞希罗作为测量员的实践技能，但声称他的科学知识微不足道。然而，马奥尼在文献[1]中写道：

根据近期的学术研究，他现在似乎是一位受过良好教育且往往富有创造力的应用数学家，同时也是从巴比伦人经阿拉伯人到文艺复兴欧洲的持续实用数学传统中的一个重要环节。

最后，希思在文献[5]中写道：

希罗手册的实用性如此之大，它们自然大受欢迎，同样自然的是，其中最受欢迎的至少会被后来的作者重新编辑、修改和扩充；对于像欧几里得的《几何原本》那样，在希腊、拜占庭、罗马和阿拉伯教育中常规使用了数个世纪的书籍来说，这是不可避免的。

参考文献 References

1. A·G·德拉赫曼、M·S·马奥尼，《科学传记词典》中的传记（纽约，1970-1990）。

2. 《不列颠百科全书》中的传记。http://www.britannica.com/biography/Heron-of-Alexandria

3. M·坎托，《数学史讲座》第一卷（莱比锡，1908 年）。

4. A·G·德拉赫曼，《克特西比乌斯、菲隆和希罗：古代气动学研究》（1948 年）。

5. T·L·希思，《希腊数学史》第一、二卷（牛津，1931 年）。

6. J·L·海贝格，《亚历山大里亚的希罗现存全部著作》（莱比锡，1912 年）。

7. O·诺伊格鲍尔，《古代数理天文学史》（纽约，1975 年）。

8. I·托马斯，《希腊数学史资料选编》第二卷（伦敦，1941 年）。

9. G·德劳里耶和S·迪比克，《希罗的立方根计算》，《初等数学》51 (1) (1996)，第 28-34 页。

10. A·G·德拉赫曼，《希罗〈力学〉中的阿基米德残篇》，《半人马座》8 (1963)，第 91-146 页。

11. A·G·德拉赫曼，《希罗与托勒密》，《半人马座》1 (1950)，第 117-131 页。

12. M·费德斯皮尔，《论伪希罗〈定义〉中的一个段落》，《应用科学史杂志》32 (2) (1979)，第 97-106 页。

13. J·霍鲁普，《希罗公式在〈度量论〉中的地位（附关于柏拉图的注释）》（意大利语），《数学史通报》17 (1) (1997)，第 3-11 页。

14. P·凯瑟，《重新审视希罗的“蒸汽机”》，《精确科学史档案》44 (2) (1992)，第 107-124 页。

15. W·R·诺尔，《‘Arithmetike stoicheiosis’：论丢番图与亚历山大里亚的希罗》，《数学史》20 (2) (1993)，第180-192页。

16. J·G·斯迈利，《亚历山大里亚的希罗中的平方根》，《赫尔墨忒那》63 (1944)，第 18-26 页。

17. C·M·泰斯巴克，《海伦三角形面积公式的阿基米德式证明；重构》，《半人马座》24 (1980)，第 110-116 页。

18. C·M·泰斯巴克，《勘误：海伦三角形面积公式的阿基米德式证明；重构》，《半人马座》25 (1-2) (1981/82)，第 160 页。

19. Y·伊德和 E·S·肯尼迪，《中世纪对希罗公式的证明》，《数学教师》62 (1969)，第 585-587 页。

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