丢番图 Diophantus ：代数学的先驱

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丢番图 Diophantus ：代数学的先驱

原创  老唐学数学  2026 年 5 月 22 日 06:39  广东

摘要

丢番图（约 200 — 284 年）是希腊数学家，被誉为“代数之父”。其代表作《算术》原 13 卷，仅 6 卷幸存，后于伊朗发现阿拉伯文译本的 4 卷，但学者对其归属仍有争议。

代数贡献：他系统研究了线性和二次方程，仅接受正有理数解，拒斥负数与无理根。他引入未知数及其幂的缩写符号（如Δ^Υ 表示平方），突破了纯文字代数，朝符号代数迈出关键一步。他求解了多种不定方程（丢番图分析），如将 10 分为三个平方数之和，并探讨了使线性表达式、高次多项式同时为平方数的问题。

数论洞察：他知晓“ 4n+3 不能表为两平方和”等定理，并可能预见了“四平方和定理”（后由拉格朗日证明）。

生平之谜：一则墓志铭谜题给出了他的寿命为 84 岁。其著作影响了费马，催生了费马大定理。

丢番图以问题导向的巧妙解法与符号创新，架起了古巴比伦代数与近代数学之间的桥梁。

快速信息 Quick Info

● 出生：约 200 年，（很可能在）埃及的亚历山大  

● 去世：约 284 年，（很可能在）埃及的亚历山大  

概述：丢番图是一位希腊数学家，有时被称为“代数之父”。他最著名的著作是《算术》，该书对数论的发展产生了巨大影响。





传记 Biography

丢番图常被称为“代数之父”，他最著名的著作是《算术》，这是一部关于代数方程求解和数论的作品。然而，关于他的一生，我们几乎一无所知，关于他生活的时代也存在许多争论。

有一些线索可以限制丢番图的生活年代。一方面，丢番图引用了许普西克勒斯关于多边形数的定义，因此他一定写于公元前 150 年之后。另一方面，亚历山大的塞翁——希帕提亚的父亲——引用了丢番图的一个定义，这意味着丢番图写作不晚于公元 350 年。但这仍给出了 500 年的时间跨度，因此这些信息并没有大大缩小丢番图的生活年代范围。

曾有一条信息被长期接受为相当准确的年代依据。希思引用了一封来自米海尔·普塞洛斯（生活在 11 世纪下半叶）的信。普塞洛斯写道（希思的翻译）：

丢番图更精确地处理了[埃及算术]，但非常有学问的阿纳托利乌斯以不同的方式、以最简洁的形式收集了丢番图所阐述的该学说中最核心的部分，并将他的著作献给了丢番图。

普塞洛斯在信中还说，丢番图对未知数的幂采用了与埃及人不同的名称。这封信由保罗·坦纳里首次出版，他在评论中认为普塞洛斯引用的是现已失传的关于丢番图的评注，可能出自希帕提亚之手。然而，上述引文被用来推断丢番图的年代，依据是这里的阿纳托利乌斯被认为是劳迪基亚的主教，他是一位数学教师和作家，生活在 3 世纪。由此推断，丢番图大约在公元 250 年写作，我们给出的年代就是基于这一论证。

诺尔对此提出了批评：

人们立刻会怀疑这里有问题：一个人编撰了另一人的作品的缩写本，然后又把它献给那个人，这似乎很奇怪；而“以不同的方式”这一修饰语本身是空洞的，考虑到“最核心”和“最简洁”这些词语，它应该是多余的。

诺尔给出了同一段文字的不同翻译（这显示了对于不精通古典希腊语的人来说研究希腊数学的难度），其含义截然不同：

丢番图更精确地处理了[埃及算术]，但非常有学问的阿纳托利乌斯，收集了那个人学说的最核心部分，将其最简洁地献给了另一个丢番图。

诺尔关于丢番图年代的结论是[16]：

……我们必须接受丢番图可能生活在 3 世纪之前，甚至可能比 1 世纪的希罗还早。

关于丢番图生平的最详细信息（尽管这些信息可能完全是虚构的）来自《希腊文选》，该书由梅特罗多罗斯于公元 500 年左右编纂。这套谜题集中有一个关于丢番图的谜题：

……他的童年占据了他一生的 1/6 ；又过了 1/12 ，他的胡子长出来了；又过了 1/7 ，他结婚了；婚后 5 年，他的儿子出生；儿子活到了父亲寿命的一半；父亲在儿子去世后 4 年也离世了。

因此，他 26 岁结婚，有一个儿子，儿子在 42 岁时去世，比丢番图去世早 4 年，丢番图本人享年 84 岁。基于这一信息，我们给他的寿命为 84 年。

《算术》是一部包含 130 个问题的集子，给出了确定方程（有唯一解）和不定方程的数值解法。求解后一类方程的方法现在被称为丢番图分析。原本 13 卷中只有 6 卷被认为保存了下来，其他卷被认为在写完后不久就遗失了。有许多阿拉伯语译本，例如阿布·瓦法的译本，但只有这 6 卷的内容出现。希思在 1920 年写道：

遗失的几卷显然很早就不见了。保罗·坦纳里推测，希帕提亚的评注只涵盖前六卷，她未涉足其余七卷，这部分因此首先被遗忘，然后失传。

然而，在伊朗马什哈德的阿斯坦·库兹圣陵图书馆中有一份阿拉伯语手稿，其标题声称它是库斯塔·伊本·卢卡（死于 912 年）翻译的丢番图《算术》第四至第七卷。F·塞兹金在 1968 年做出了这一显著发现。拉希德在文章中比较了这四卷阿拉伯语译本与已知的六卷希腊语文本，声称该文本是丢番图遗失卷的翻译。然而，罗岑菲尔德在评论这两篇文章时并不完全信服：

审稿人熟悉该手稿的阿拉伯语文本，不怀疑该文本是从亚历山大书写的希腊语文本翻译而来，但丢番图《算术》的希腊语卷将代数问题与深奥的数论问题结合在一起，而这些卷仅包含代数材料，两者之间的巨大差异使得该文本极有可能不是丢番图所写，而是他的某位评注者（也许是希帕提亚？）所写。

现在是时候来看看这部希腊数学中最杰出的代数学著作了。该著作考虑了许多关于线性方程和二次方程求解的问题，但只考虑这些问题的正有理数解。那些会导致负数或无理数平方根的方程，丢番图认为无用。举一个具体的例子，他把方程 4 = 4x + 20 称为“荒谬的”，因为它会导致一个无意义的答案。换句话说，一个问题怎么会得出 -4 本书的解？没有证据表明丢番图意识到二次方程可以有两个解。然而，他总满足于有理数解而不要求整数解，这一点比我们今天可能意识到的更为高明。

丢番图考虑了三种类型的二次方程：ax^2 + bx = c 和 ax^2 + c = bx 和 ax^2 = bx + c 。丢番图之所以有三种情况，而今天我们只有一种情况，是因为他没有零的概念，并且通过让 a,b,c 在上述三种情况下都为正数来避免负系数。

然而，丢番图还考虑了其他许多类型的问题。他求解了诸如一对联立二次方程的问题。

考虑  y + z = 10 , yz = 9 。丢番图通过创建一个关于 x 的单个二次方程来求解。设 2x = y - z ，那么加上  y + z = 10 和 y - z = 2x ，我们有 y = 5 + x ，然后相减得到 z = 5 - x 。现在



所以  x^2 = 16 , x = 4 ，得出 y = 9 , z = 1 。

在第三卷中，丢番图求解了找到使两个线性表达式同时成为平方数的 x 值的问题。例如，他展示了如何找到 x 使 10x + 9 和 5x + 4 都是平方数（他找到 x = 28 ）。其他问题则寻求 x 的值，使得特定类型的关于 x 的多项式（最高到 6 次）是平方数。例如，他在第六卷中求解了找到 x 使得 x^3 - 3x^2 + 3x + 1 是平方数的问题。同样在第六卷中，他解决了诸如找到 x 使得 4x + 2 是立方数且 2x + 1 是平方数的问题（他很容易找到答案 x = 3/2 ）。

丢番图研究的另一类问题出现在第四卷中，即在给定界限之间寻找幂。例如，要找到介于 5/4 和 2 之间的平方数，他将两者乘以 64 ，发现平方数 100 介于 80 和 128 之间，从而得到原问题的解 25/16 。在第五卷中，他解决了将 13 写成两个平方数之和且每个平方数都大于 6 的问题（他给出的解是 66049 / 10201 和 66564 / 10201 ）。他还将 10 写成三个平方数之和且每个平方数都大于 3 ，找到的三个平方数是：



希思考察了丢番图显然知晓的一些数论结果，但尚不清楚他是否有证明。当然，这些结果可能在他的其他著作中被证明了，或者他可能觉得由于实验证据它们是“显然”正确的。这些结果包括：

……任何形如 4n + 3 或 4n - 1 的数都不能表示为两个平方数之和；

……形如 24n + 7 的数不能表示为三个平方数之和。

丢番图似乎也知道每个数都可以表示为四个平方数之和。如果他确实知道这个结果，那将是真正了不起的，因为即使是费马，虽然陈述了这个结果，也未能给出证明，直到拉格朗日利用欧拉的成果才解决了它。

尽管丢番图没有使用复杂的代数记法，但他引入了一种代数的符号表示法，使用了未知数及其幂的缩写。正如福格尔所写：

丢番图首次引入的符号体系，无疑是他自己设计的，提供了一种简短且易于理解的方式来表达方程……由于对“等于”一词也使用了缩写，丢番图从文字代数向符号代数迈出了根本性的一步。

从我们引用的例子中可以清楚地看到，丢番图更关注具体问题而非通用方法。其原因是，尽管他在符号化方面取得了重要进展，但仍然缺乏表达更通用方法所需的记法。例如，他只有一种未知数的符号，当问题涉及多个未知数时，丢番图只能用文字描述“第一个未知数”、“第二个未知数”等。他也缺乏表示一般数 n 的符号。在我们写成 (12 + 6n) / (n^2 - 3)  的地方，丢番图必须用文字表述：

……一个六倍的数加上十二，除以该数的平方超过三的差。

尽管丢番图引入并改进了记法，但代数要真正写出并简洁地解决通用问题，还有很长的路要走。

丢番图另一部著作《多边形数》的残篇保存了下来，这是毕达哥拉斯及其追随者非常感兴趣的主题。有资料称这部作品：

……几乎没有原创性，并且因其使用几何证明而立即与《算术》区分开来。

丢番图本人提到了另一部作品，包含一系列引理，名为《引理集》，但这部书已完全失传。我们确实知道《引理集》中包含三个引理，因为丢番图在《算术》中提到了它们。其中一个引理是：两个有理数的立方之差等于另外两个有理数的立方之和，即给定任意数 a,b ，存在数 c,d 使得 a^3 - b^3 = c^3 + d^3 。

另一部现存作品《几何基础预备知识》曾被认为归功于希罗，但最近的研究表明这一归属不正确，该作品应归功于丢番图。有作者认为他可能已经识别出丢番图的另一部作品。他写道：

我们推测存在一部丢番图遗失的理论著作，名为《算术基础教学》。我们的主张基于一位匿名拜占庭评注者的边注。

欧洲数学家直到 1463 年才了解到丢番图《算术》中的珍品，当时雷格蒙塔努斯写道：

至今没有人将丢番图的十三卷《算术》从希腊语翻译成拉丁语，而整个算术的精华就隐藏在其中……

邦贝利在 1570 年翻译了其中大部分内容，但从未出版。邦贝利确实在自己的《代数》中借用了丢番图的许多问题。丢番图《算术》最著名的拉丁语译本是巴谢于 1621 年完成的，费马研究的就是这个版本。当然，费马受到这部作品的启发，而这部作品因其与费马大定理的联系而在近年来声名鹊起。

我们在这篇文章开头提到丢番图常被视为“代数之父”，但毫无疑问，许多求解线性和二次方程的方法可以追溯到巴比伦数学。为此，Vogel 写道：

……丢番图并不像人们常说的那样，是代数之父。尽管如此，他那非凡的、尽管不系统的不定问题集是一项卓越的成就，直到很久以后才得到充分赏识和进一步发展。

参考文献

1. J Sesiano, K Vogel, 传记收录于《科学传记词典》（纽约，1970-1990）。

2. 传记收录于《大英百科全书》。http://www.britannica.com/biography/Diophantus

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11. I G Bashmakova, E I Slavutin 和 B A Rozenfeld，《丢番图〈算术〉的阿拉伯语版本》，载于《科学与技术：人文主义与进步》第二卷（莫斯科，1981 年），第 151-161 页。

12. I G Basmakova, E I Slavutin 和 B A Rozenfeld，《丢番图〈算术〉的阿拉伯语文本》（俄语），《数学史研究》第 23 卷（1978 年），第1 92-225 、358 页。

13. M Cantor，《数学史讲座》第一卷（莱比锡，1907 年），第 463-488 页。

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15. K Joshi，《关于丢番图的笔记》，《当代科学》第 67 卷第 12 期（1994 年），第 957-966 页。

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