莱默猜想：一个关于欧拉函数的百年未解之谜

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莱默猜想：一个关于欧拉函数的百年未解之谜

原创  小鹿思考力  小鹿思考力  2026 年 6 月 8 日 06:00  福建

01  一个叫莱默的人，问了一个看似天真的问题

1932 年，美国数学家德里克·亨利·莱默（D. H. Lehmer）在一篇学术论文中提出了一个问题。

这个问题简单到可以用一句话说完：

如果一个正整数  n 的欧拉函数 φ(n) 能整除 n-1 ，那么 n 一定是素数吗？

莱默当时可能并没有意识到，这个看似天真的问题，会在此后近百年里，让无数数学家夜不能寐。

他只是在研究欧拉函数 φ(n) 的时候，偶然注意到了这个规律：

对于素数 p ，φ(p) = p-1，所以显然 φ(p) 能整除 p-1 。

而对于合数呢？随手算几个：

4 ：φ(4)=2 ，2 不能整除 3 。

6 ：φ(6)=2 ，2 不能整除 5 。

8 ：φ(8)=4 ，4 不能整除 7 。

9 ：φ(9)=6 ，6 不能整除 8 。

10 ：φ(10)=4 ，4 不能整除 9 。

一个合数都不行。

莱默提出了一个猜想：

除了素数以外，没有任何自然数能让 φ(n) 整除 n-1 。

这个问题，后来被数学家们称为 Lehmer 猜想。

02  欧拉函数是什么？先讲一个关于“互质”的故事

要理解莱默的困惑，我们得先回到 18 世纪，认识一下那位“数学界的莎士比亚”——欧拉。

欧拉这个人有多厉害？这么说吧：数学史上最重要的常数之一 e（自然对数的底）是他推广的，i（虚数单位）是他引入的，π 他也做了大量研究。他一生发表了 800 多篇论文，去世后欧洲的数学期刊还能继续发表他的遗作长达 50 年。

欧拉在 1730 年代研究一个叫做“互质”的概念时，发明了一个函数，后来被记作 φ(n) ，中文叫“欧拉函数”。

它的定义特别简单：

φ(n) = 小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。

“互质”就是最大公约数为 1 。

我们举个例子：n = 6 。

小于等于 6 的正整数有：1, 2, 3, 4, 5, 6 。

逐一检查谁和 6 互质：

1 ←→ 6（最大公约数 1） 互质。

2 ←→ 6（公约数 2） 不互质。

3 ←→ 6（公约数 3）不互质。

4 ←→ 6（公约数 2） 不互质。

5 ←→ 6（最大公约数 1） 互质。

6 ←→ 6（最大公约数 6）不互质

互质的数有：1 和 5 ，一共 2 个 。

所以 φ(6) = 2 。

还可以再举一个：n = 7 。

小于等于 7 的正整数有：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 。

因为 7 是素数，它和 1 到 6 的最大公约数都是 1，而 φ(7) 不计算 7 本身（因为 7 和 7 的公约数是 7，不互质）。

所以与 7 互质的数：1, 2, 3, 4, 5, 6 —— 一共有 6 个。

所以 φ(7) = 6 。

这个函数看起来很简单，但它后来成了数论里最重要的工具之一。因为欧拉发现，φ(n) 藏着一个惊人的秘密——它和素数的分布有着千丝万缕的联系。

事实上，对于素数 p ，有一个极其简洁的公式：

φ(p) = p-1 。

为什么呢？因为素数和自己以下的所有正整数都互质，所以刚好就是“减一”。

这个关系太简洁了。简洁到让人忍不住想：反过来，还成立吗？

这正是莱默在 1932 年提出的问题。

03  一个“肯定对”的猜想，却怎么都证不出来

莱默提出这个猜想之后，数学界起初并没有太大反应。

当时可能大家都觉得这玩意肯定是对的。

可以这么想，合数有因子，这些因子会“抢走”一些与 n 互质的数，导致 φ(n) 比 n-1 小很多。要让一个比 n-1 小很多的数去整除 n-1 ，这本身就很难。事实也证明，你随手试几十个合数，没有一个能行。

但这只是“看起来对”，不是“证明了对”。

数学历史上，这种“看起来对但其实是错的”例子太多了。

一个著名的例子：欧拉自己曾猜想，对于任何大于 2 的整数 n ，方程 a^4 + b^4 + c^4 = d^4 没有正整数解。

结果200多年后，有人用计算机找到了反例：95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4。

更近的例子：有人猜想“n^17 + 9 和 (n+1)^17 + 9 总是互质”，结果验证了上亿个数都成立，但最终还是找到了反例，而那个反例大到连计算机都很难直接搜索到。

所以，数学界对待这种“看起来对”的猜想，态度很明确：

在证明出来之前，它永远只是一个猜想。

于是，一代又一代的数学家开始向 Lehmer 猜想发起冲击。

04  计算机登场：我们扫描了10^30 以内的所有数

随着计算机的出现，数学家们有了一个新的武器——大规模验证。

如果一个猜想是错的，那一定存在一个反例。只要找到那个反例，就能证明猜想是假的。

于是，人们开始设计算法，利用数论定理缩小搜索范围，然后让计算机去验证。

结果呢？所有让 φ(n) 整除 n-1 的 n ，都是素数。

一个合数都没有。

随着计算机越来越快，这个验证范围也越来越大。到今天，数学家们已经确认：

在 n < 10^30 的范围内，不存在 Lehmer 猜想的反例。

10^30 是什么概念？1 后面跟 30 个零。这个数字巨大到远超任何人力所能及的范围。

这么大的范围，一个反例都没有。换成别的领域，这基本就可以宣布“猜想必真”了。

但数学不行，数学需要保持严谨。

05  如果反例存在，它会长什么样？

既然找不到反例，数学家们换了个思路：如果反例真的存在，它应该长什么样？

几十年来，人们不断给这个“假想的反例”施加限制条件。到今天，如果 Lehmer 猜想是错的，那个反例必须满足一系列苛刻的条件：

1. 它一定是个奇数。（除了 n=2 和 4 这两个小情况）

2. 它不能被任何素数的平方整除。（数学上叫“无平方因子”）

3, 它至少要有 15 个不同的素因子。

4. 它必须大于 10^30 。（而且这个下界还在不断提高）

15 个不同素因子是什么概念？最小的 15 个素数的乘积是：

          2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47 。

这个数字大约是 6.1×10^17 ，已经很大了。但这只是最小情况，实际的反例还远大于此。

换句话说：

如果 Lehmer 猜想的反例存在，它一定是一个极其巨大、结构极其复杂的合数。大到普通人根本不可能随手写出来，大到目前的计算能力也几乎不可能暴力搜索到。

这也许解释了为什么近百年来没人能找到反例——不是因为它不存在，而是因为它可能藏在太远的地方。

但也可能，它根本就不存在。

目前没有人知道答案。

06  莱默本人怎么想？

作为一个亲身经历过数学史上多次“意外反例”的数学家，莱默本人对这个猜想的态度非常谨慎。

数学界流传着他的一句话，虽然无法完全确认是否原话，但很好地概括了他的态度：

“这个问题的难度，似乎与其表述的简洁性成正比。”

简单来说就是：越简单的问题，往往越难证明。

莱默并没有因为提出这个猜想而穷尽一生去证明它。他只是把它写了下来，然后继续做他更擅长的事情——发明算法、设计计算机程序、寻找大素数。

他可能也隐约感觉到了：这个问题，不是他这一代人能解决的。

事实证明，他的直觉是对的。

近百年过去了，这个问题依然悬而未决。

07  一个关于“等待”的故事

今天，Lehmer 猜想依然是数学界的开放问题。

它没有被证明，也没有被证伪。

所有已知的证据都指向“它为真”，但没有人能给出严格的数学证明。

这种状态在数学里并不罕见。有一个著名的“克拉茨猜想”（也叫 3n+1 问题），比 Lehmer 猜想还要简单：给你一个数，如果是奇数就乘 3 加 1 ，如果是偶数就除以 2 ，重复操作，最终总会落到 1 。这个猜想所有人都觉得对，但没人能证明。

Lehmer 猜想的命运，和它有些相似。

不过，Lehmer 猜想有一个独特的魅力：它触及了数学最本质的追求。

数学家在证明一个定理时，通常有两种方式：

● 一种是正面进攻：直接证明如果 n 是合数，那么 φ(n) 不能整除 n-1 。

● 一种是反面围堵：证明如果 φ(n) 整除 n-1 ，那么 n 一定是素数。

两种方式，至今都没走通。

但这个过程并非毫无收获。为了攻克 Lehmer 猜想，数学家们发展出了许多新的工具和方法，这些工具后来被用到了其他数论问题上。有时候，一个问题的价值不在于它本身被解决，而在于它为解决问题而激发的创造力。

08  数学的魅力，正在于此

回到 1932 年。

莱默在论文中写下那个简单的问题时，可能并不知道它会成为数学史上的一个“钉子”——看似小，却怎么都拔不掉。

但他一定知道一件事：

有些问题，不是因为有用才值得研究，而是因为它们挑战了人类的理解边界。

Lehmer猜想就是这样一个问题。

一个小学高年级学生就能理解的问题，却让人类最聪明的头脑忙活了近百年。

它提醒我们：在数学的世界里，简洁和难度从来不成正比。有些东西看起来很简单，只是因为我们的理解还不够深。

也许有一天，某个数学家会突然灵光一闪，用我们目前还想象不到的巧妙方法，彻底解决这个问题。

也许，那个反例真的存在，只是大到我们还没能力找到。

无论结果如何，Lehmer 猜想的故事都在告诉我们：

这个世界上，还有一些问题，等待着你去思考。

哪怕它现在还没被解决，也不代表它永远不会被解决。

小鹿思考力