sinα/sin(π/3+β-α)=sinβ/sin(π/3+γ-β)=sinγ/sin(π/3+α-γ)，则 α=β=γ

波斯猫猫

题: 若α,β,γ都是锐角,且sinα/sin(π/3+β-α)=sinβ/sin(π/3+γ-β)
=sinγ/sin(π/3+α-γ),则α=β=γ.  

思路: 根据对称性，不妨令π/2＞α≥β≥γ＞0，

则-π/2≤β-α≤0，-π/2≤γ-β≤0，0≤α-γ＜π/2.

假设命题不成立, 则至少β＞γ.由条件有，

sinβ/sinγ=sin(π/3+γ-β)/sin(π/3+α-γ)＞1,

根据正弦函数在[-π/6,π/2)∪[π/2,5π/6]上的单调性，

点π/3+γ-β关于直线x=π/2的对称点a满足

a+π/3+γ-β=π,即a=2π/3+β-γ＜π/3+α-γ,或α＞β+π/3.

由β＞γ, 有α＞γ, sinα/sinγ=sin(π/3+β-α)/sin(π/3+α-γ)＞1，

根据正弦函数在[-π/6,π/2)∪[π/2,5π/6]上的单调性，

点π/3+β-α关于直线x=π/2的对称点b满足

b+π/3+β-α=π,即b=2π/3+α-β＜π/3+α-γ,或β＞γ+π/3.

∴ α＞β+π/3＞γ+π/3+π/3=γ+2π/3. 这与α是锐角矛盾. ∴ α=β=γ.

注：本题是在做角的游戏而非三角变换，根据正弦函数在相应区间上的单调
性, 采用反证法的手段解决问题.能否有更简洁的方法？前几天在本版块看见
了一下就不见了，里面还做了一些讨论. 希望有人把原贴顶上来.

luyuanhong

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