狄拉克是怎么只用四个 2 ，凑出所有正整数的？

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狄拉克是怎么只用四个 2 ，凑出所有正整数的？

原创  氪鉴  氪鉴  2026 年 11 月 10 日 08:35  新加坡



上周日一早，程序员扎堆的论坛 Hacker News 首页上，挂出了一篇一年多前的旧博客，题目叫《用四个 2 凑出任意整数》。一天多下来，它拿了两百多个赞、六十来条评论。



这道题你多半玩过它的亲戚：小时候打扑克凑 24 点。只是规则反过来，手里那四个数固定不变，要凑的目标随便挑。

怪的是，这道题早在快一百年前就被一个物理学家“一招解决”了。可解决之后，争论才真正开始。

一道小学生也能上手的题

博客作者是程序员 Eli Bendersky 。规则一句话就能讲完：给你四个 2 ，加减乘除随便用，乘方和根号也行，但不许出现别的数字，凑出指定的整数。

开头几个数，小学生几分钟就能搞定。比如两两相加再一除，就得到一。

往后就难了。Bendersky 特意提了一句，7 出了名地难凑。数字一大，大家就开始翻箱底，把两个 2 拼成 22 这种招都用上了。



四个 4 的老账

这游戏比博客老得多。更出名的版本叫“四个 4 ”。维基百科的词条记着，它最早见于一百多年前英国的一本科普杂志。



一百多年里，它一直是老师爱布置的作业。这次 HN 评论区有位网友回忆，初中老师每年寒假都出一道，用的是新年份的那几个数字：“我 1996 年玩得特别开心。可惜她到 2000 年大概就出不下去了。”

人人都在一个数一个数地凑。那么，有没有人一次凑完所有的数？

狄拉克的通用公式

Bendersky 给出的答案是一个人：保罗·狄拉克。他是量子力学的奠基人之一，很年轻就拿了诺贝尔物理学奖，平时话少得出名。



狄拉克的传记《量子怪才》里说，上世纪 20 年代的数学家流行一个游戏：“只用恰好四个 2 ，只用众所周知的数学符号，表示任何一个整数。”

别人还在一个个地凑，狄拉克直接交出了一条公式。



根号的层数

这公式为什么成立？套三层根号，当场算一遍。

先套一层根号，√2 ，等于 2 的二分之一次方。再往外套两层，指数依次变成四分之一、八分之一。

每开一次根号，头顶上那个指数就砍掉一半。







作弊的嫌疑

那这算不算作弊？Bendersky 自己写：“有人会说这是作弊，但它好像确实符合规则。”


HN 上不服气的人不少。网友 hahajk 说：“在我看来，开平方就花掉了一个 2 。你也可以开立方、开四次方，平方根只是把那个数省了没写。”



另一派搬出原题的字面：规则只说不许出现别的数字，根号是符号，不是数字。

吵到后面，有人拿出一个更“赖皮”的办法：先让四个数互相抵消，再在外面套一个“加一”，要几就套几层。

另一位网友一句话点穿：这和狄拉克那招，都是在用一进制写数。一进制，就是掰手指头、画“正”字的记法，有几道就是几。

所以维基百科那个词条写着，大多数版本干脆不许用对数，理由写得很直白：它能造出所有非负整数。



规则本身的乐趣

一道题被一个公式解决了，为什么快一百年后还有人在吵？

一位网友说到了点子上：我们碰巧给“开平方”和“取对数”发明了专门的符号，却没给“加一”发明一个。要是它也有个顺手的符号，这题早就无聊了。

所以这道题考的不只是算术，还有我们写数学的习惯。哪些符号“算数”，哪些“不算数”，没有标准答案。

狄拉克没有把这道题玩死，他把较量从“凑数”挪到了“定规则”。从那以后，大家争的是哪些符号能用，一直争到今天。

同一本传记里还记着一件事：剑桥的同事半开玩笑地给狄拉克定了个单位，叫“ 1 狄拉克”，等于每小时说一个词。

氪鉴