[原创]n维欧氏空间的向量运算

zhaolu48

[watermark]                        n维欧氏空间的向量运算
　　我们就一个具体6维欧氏空间U为例说明如何进行向量的运算。
　　在foxpro语言环境下，用随机函数的组合随机生成两个6维向量：
　　  a=(-0.93, 0.13,-0.06, 1.79, 0.81, 1.37)
　　  b=(-0.57,-1.29, 0.79,-1.84,-1.95,-0.63)
　　显然a,b不共线，令
　　  c=1.7a-1.3b =(-0.840, 1.898,-1.129, 5.435, 3.912, 3.148)
　　  d=-1.6a+2.1b=( 0.291,-2.917, 1.755,-6.728,-5.391,-3.515)
　　即c,d为a,b的生成U的子空间V内的两个向量。令w=(a,b) (表示a,b的内积)，p=w/|a|^2，
　  e=b-pa，则e为b在a上的射影。令f=b-e，则f⊥a。
　　令m=a/|a|, n=f/|f|，则m,n是V一组单位正交基底。计算得
　　　　　　m　　　　　　　　 n
   -0.361386533369142  -0.554694886969653
    0.050516397137622  -0.493146658875939
   -0.023315260217364   0.308693866109312
    0.695571929818027  -0.156121174580895
    0.314756012934414  -0.536207995546204
    0.532365108296479   0.204780899000643
　　把m到n的旋转方向定义为V内的正向旋转，以m的起点为起点，方向与m的方向相同的射线为V内的任意角的始边，这个角的终边称为与这个终边射线同向的向量的一个幅角。则m的幅角为0，n的幅角为π/2。
　　设向量a(与m同向)在V内旋转角α=2π/3后与向量g相等(模r=|a|=2.573421846491554)，则g在m上的射影为rcosα*m，在n上的射影为rsinα*n，即g在m,n上的正交分解为：rcosα*m, rsinα*n，也就是：
　　g=rcosα*m+ rsinα*n=r(mcosα+nsinα)：
   -0.771220035255609
   -1.164050657114047
    0.717970181462519
   -1.242939251791048
   -1.600019248833877
   -0.228615316944323
　　把m旋转π/2得到的向量就是n，把m旋转π得到的向量就是-m，把n旋转π/2得到的向量也是-m，把n旋转π得到的向量是-n，把n旋转3π/4得到的向量是m。
　　当把在V中的旋转定义为向量的乘法(旋转角为负值时相当于除法)，那么有
　　m*m=m,n^2=-m,n^3=-n,n^4=m,设s为V中的任意向量，则s/m=s*m/m=s。
　　与复数的运算比较有m相当于“1”，n相当于“i”。由此可知复数的运算实质上就是向量的运算。
　　因此可把g=r(mcosα+nsinα)称为g在V内的三角形式。
　　令rcosα=u,rsinα=v，则g=um+vn，称g=um+vn为g在V内的代数形式。
　　把g在V内的三角形式也可用g=(r,α)代替，称为g在V内的极坐标形式。
　　把向量c表示为c=um+vn的形式有两种方法：
　　第一种是内积方法有　u=(c,m)=7.113412060660410，
　　　　　　　　　　　　v=(c,n)=-3.120078020699326；
　　第二种是解线性方程组　mx+ny=a 得x=7.113412060660406，
　　　　　　　　　　　　　　　　  　y=-3.120078020699333。
　　回归计算得:
　　　　　mx+ny　　　　　　　um+vn
   -0.839999999999994  -0.839999999999999
    1.898000000000000   1.897999999999997
   -1.129000000000000  -1.128999999999998
    5.435000000000000   5.435000000000002
    3.912000000000000   3.911999999999998
    3.148000000000001   3.148000000000004
由此可知用解线性方程组的方法略好一点。
即　c(代)=7.113412060660406m-3.120078020699333n。
同理可计算得d(代)=-8.541359058549567m+5.040126033437383n。
令p=7.113412060660406,q=-3.120078020699333
　u=-8.541359058549567,v=5.040126033437383
有：c=pm+qn,d=um+vn，由m^2=m,n^2=-m,mn=n,得
cd=pum^2+qvn^2+(pv+qu)mn=pum-qvm+(pv+qu)n=(pu-qv)m+(pv+qu)n
c/d=(pm+qn)/(um+vn)=[(pm+qn)(um-vn)]/[(um+vn)(um-vn)]
　 =[(pu-qv)m+(pv+qu)n]/[u^2+v^2]m={[(pu-qv)m+(pv+qu)n]/m}/[u^2+v^2]
　 =[(pu-qv)m+(pv+qu)n]/[u^2+v^2]
代入数值计算得：
　　　　　　cd                  c/d
   -18.39546829235928    0.332917061953243
   -33.09763681229379    0.006859025057774
    20.34399300735545   -0.010752634663479
   -41.08134333052766   -0.526275396131031
   -47.68846731728512   -0.194586990907794
   -11.17453896616495   -0.433131967943971
又c(极径)=(sqrt(p^2+q^2,atg(p/q))=7.767594093411423
　 c(极角)=336°19′ 0″.5823
　 d(极径)=9.917544302900792,  d(极角)=149°27′20″.8504
　　即c(极)=(7.767594093411423,336°19′0″.5823)=(r,θ)
　　　d(极)=(9.917544302900792,149°27′20″.8504)=(s,φ)
从而可得
　　cd(极)=(77.03545854835829,125°46′21″.4327)=(u,θ+φ-2π)=(u,α)
　　c/d(极)=(0.783217483701028,186°51′39″.7319)=(v,θ-φ)=(v,β)
因此cd在m,n上的射影的模分别为ucosα,usinα，
即其代数形式为cd=m*ucosα+n*usinα,
同理c/d的代数形式为c/d=m*vcosβ+n*vsinβ。
用这种方法计算得到的cd,c/d为
　　　　　　cd　　　　　　　　　c/d
   -18.39546829235925    0.332917061953243
   -33.09763681229377    0.006859025057774
    20.34399300735544   -0.010752634663479
   -41.08134333052769   -0.526275396131031
   -47.68846731728512   -0.194586990907794
   -11.17453896616497   -0.433131967943971
这与前面直接用代数方法计算的结果是，两cd的各分量的最大误差是3*10(-14),而两c/d的各分量的15位小数均相同。但对于cd来说是第16数字上才有误差，而c/d只是可知前15位数字均为有效。
[/watermark]

wangyangkee

摆在elimqiu老师面前的事实
1，电影有个杨白劳；网上有个elimqiu白劳；
2，顽石，成功数学家，达到指斥康托答陆教授问的高峰；顽石，受到灌水的歌颂；
3，在elimqiu看来，顽石笨蛋，愚蠢，驴打滚，狗屎堆逻辑，白痴，饭桶；狗屎堆逻辑原创人，幼儿园不会录取。
4，elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶；elimqiu 不是狗屎堆逻辑原创人；幼儿园会录取elimqiu 。
5，顽石和elimqiu，合作科学巨著答陆教授问；elimqiu主编并和和申一言，俞根强，顽石，JCK等合作科学巨著-------数学是什么------，最终不会是空空如也；但，可能是elimqiu白劳，，，是否灌水哟，虽然elimqiu不愿承认，，，
6，elimqiu是否贼喊捉贼？---------------的贴子主题： 数学是什么？------是否是灌水？elimqiu嚷反灌水，是否贼喊捉贼？
7，在elimqiu，对顽石嚷：
现在已经没人怕你的狗屎堆逻辑了。你怎么灌水也没人在乎，水涨船高而已。你德性越糟，你越灌水越损自己。就是这么个理。惨淡经营你的空空如也去吧。
你的东西没有任何价值。这就是为什么你只能惨淡经营。自卖自买。理论短路。这个日子过得不容易可以理解。不过是你自找的。要有勇气承受才对。
8，elimqiu和顽石，相得益彰；顽石出名了，，，可能，传至将来，在传至将来中，裹夹着elimqiu--------------裹夹着elimqiu--------------的-----------
elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶；elimqiu 不是狗屎堆逻辑原创人；幼儿园会录取elimqiu 。