已知方程 x^3+7x^2+14x-p=0 有三个不同的根，三个根成等差数列，求 p 的值并解方程

luyuanhong

这是网友 概率考 发送来的一个帖子，欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

五花六雪

本题上述解法，直观、易懂，非常好。
对f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,其题意表明三次方程的拐点在横轴上，
故有根x=-b/3a=-7/3,
另两根是拐点的对应点，设P=b^2-3ac
则P=49-3×1×14=7
公差δ=1/a×√(P/3)=√(7/3)=√(21)/3
另两根为x=[-7±√(21)]/3

angel_phoenix88

等差数列的中间值-(7/3)必然是其一个实数解
p=(-7/3)^3+7*(-7/3)+14(-7/3)=196/27
利用(x+7/3)是多项式的一个因子，分解出另外一个一元二次因子，再获得共轭的两个实数解

luyuanhong

谢谢楼上 五花六雪 和 angel_phoenix88 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

1，根据题意，可知 -7/3是方程的一个根，
2，用x+7/3去除x^3+7X^2+14X -P，
3，可得商是x^2+14/3X+28/9，兼得p= -196/27，
4，解一元二次方程x^2+14/3x+28/9=0，
5，可得另两个根是(-7+21^(1/2))/3，(-7-21^(1/2))/3 。