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发表于 2020-4-27 18:41
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4. Ramanujan 的信和 Hardy 的反应
Godfrey Harold Hardy (1877-1947) 的父母从事教育, 他另有一妹叫 Gertrude。从小Hardy 每一样功课都很好, 但由于害羞, 为避免成绩好, 拿奖, 他会故意写错答案。他在 1896 年读剑桥大学三一学院, 并在 1898 年考取 Mathematical Tripos Part I (Tripos 是从 1730 年开始有的剑桥的一种特种考试, 题目多且难, 第 1 名称为 Senior Wranger, 本人得奖外这个称号永存。), 他得了第 4 名。1900 年他考更难的 Tripos Part II, 得到第一名, 当年他便很快地成为研究员 (Fellow) 了。
Hardy 很感念他的导师 A. E. H. Love 给他严谨的解析训练, Love 更劝他读 Jordan 的 “Cours L’analyse”, 而让他对数学开了眼。从此他热诚地投入数学的研究工作。Hardy 在1900 至 1911 年间写出不少有关级数及积分的收敛性文章。不过他在解析学上最大的贡献在于他那可读性很高的经典之作 “A Course of Pure Mathematics”。
1919 年以前 Hardy 担任三一学院的 Cayley 讲座, Hardy 口才, 文章皆一流, 他主张定理要有正确的证明。听过他课的学生都对他上课的情形印象深刻。如美国数学家 Nolert Wiener 就说:“我从来没有听过像 Hardy 那样讲得清晰、有趣、有智识力量的课。”
英国的数学自牛顿以后固步自封, 不与欧陆往来、沟通, 而沈睡在它陈腐的 Tripos 制度里。一直到 1893 年 Andrew Farsyth 着 “Theory of Functions” 才介绍一些欧陆的数学概念, 但颇有草率之嫌, 须有人承继他的工作。那便是 Hardy。
Hardy 早上念书, 下午看或玩他喜欢的曲棍球或网球。他一直保持一个童稚的心和外表。不过学生认为他看起来严肃得难以亲近, 心地却是软的, 他从来不当成绩坏的学生。依他学生的话:“他对程度不好的学生非常仁慈。”
Hardy 长得很英俊, 他自己可不认为。他从来不照镜子, 到旅馆房间, 首先会把所有的镜子用浴巾覆盖起来。Hardy 独身终生。
John Edensor Littlewood (1885-1977) 出自英国中产阶级, 有神童之誉, 受正规教育。1902 年12 月 Littlewood 考取三一学院的奖学金考试而入学, 他是 1905 年的 Senior Wranger。过后有 3 年他在 University of Manechester 当讲师, 1910 年后他回到三一学院。他对数学有能力与毅力克服他所遭遇到的困难。
他身手矫健, 终生未娶, 但跟一已婚女子育有一女。
1906 年 Hardy 审查 Littlewood 的稿子, 这是他们的第一次接触。1912 年起他们两人合作达 35 年之久, 合写的论文有 100 篇以上。甚至于有人说那个时候英国真正好的数学家有Hardy, Littlewood 与 Hardy-Littlewood 。
两个人的居处距离不过 60 方步, 不过他们不是写信就是由人传达消息, 难得两人见面。
1913 年1 月16 日 Ramanujan 写一封信给 Hardy。他说:“请容我介绍我自己。我是在Madras 港务信托会计课做事的职员, 年薪只有 20 英磅, 年龄 23 岁 (事实上是 25 岁)。我没有受大学教育, 不过受过普通教育。离开学校后我用我余下的时间念数学。我没有像受过大学教育的人那般做数学而用我自己的新方式做。我对于一些一般发散级数做了特别的观察, 所得结果让地方上的数学家感到惊奇……请您过目我附上的纸张。我穷困, 所以您如果认为我的一些定理有价值, 我希望它们能够发表出来。我并没有附上实际的验证或演算过程, 但我指出我的想法。我没有经验, 不过您给的任何劝告我都会珍惜。请原谅我的冒昧。”
Ramanujan 附上的定理占去 9 张纸。
Hardy 觉得 Ramanujan 的定理很奇特, 就像他看到一座森林, 它的树木却像从其他星球上移植过来那般。
Hardy 浏览过 Ramanujan 的信后便把信搁置在一边, 开始做他当天该做的事。但他心中的一个角落里一直在乎着他看过的信,“也该让 Littlewood 看一下那信吧。”他想, 便教人传信说当晚想与 Littlewood 见面。
那个晚上两个人看 Ramanigan 的数学。有些他们认得, 有些他们几乎难以相信, 如:
∫(0,∞){[1+(x/b)^2][1+(x/(b+1))^2]…}/{[1+(x/a)^2][1+(x/(a+1))^2]…}dx = √π/2Γ(a+1/2)Γ(b+1)Γ(b+a+1/2)/[Γ(a)Γ(b+1/2)Γ(b-a+1)] 。
1 + 9(1/3)^4 + 17[1·5/(4·8)]^4 + 25[1·5·9/(4·8·12)]^4 + … = 2^(3/2)/{√π[Γ(3/4)]^2} 。
1 - 5(1/2)^3 + 9[1·3/(2·4)]^3 - 27[1·3·5/(2·4·6)]^3 + … = 2/π 。
他们越看越觉得这个印度数字家很神奇。在半夜之前他们得到结论: 他们是在欣赏一位数学奇才的作品。
Ramanujan 在当时的剑桥数学圈内造成轰动, Hardy 给好多人看 Ramanujan 写的定理还抄一些给专家看。
Bartrand Russel (罗素) 给他的女友 Lady Ottoline Marrel 的信 (2/2, 1913) 中有这么一句:
“在餐厅里我发现 Hardy 与 Littlewood 狂喜不已, 因为他们认为他们发现了第二个牛顿: 一个年薪 20 磅的印度职员。”
同时 Hardy 活动起来, 他给驻伦敦的印度机构反应他对 Ramanujan 有兴趣, 希望 Ramanujan 能来剑桥。
1913 年 2 月 8 日 Hardy 回信给 Ramanujan:
对您的信与定理至感兴趣。不过在我能适当地判断您作出的价值之前, 我需要知道您的某些定理的证明。您的成果大略可分为三类:
（1）有些结果是已知的, 或可从已知定理推出来;
（2）就我所知有些结果是新颖而有趣的, 有趣是由于它的难度与新奇而非重要性。
（3）有些结果看来新颖、重要, 不过这个要看您使用的适当的严密证明。
您说您缺乏数学上的训练, 但是事实上您重新发现了这么多有趣的结果是非常了不起的 …… 我希望您能够尽快寄一些您的证明给我 ……
Hardy 的信在 2 月底到达以前, Madras 印度学生顾问团秘书 Arthur Davis 已经得到英国来的消息说, Hardy 希望 Ramanujan 到 Cambridge 去。
Arthur Davis 召见 Ramanujan 传达 Hardy 的意思, 不过 Hardy 很快得到消息说 Ramanujan 不想去英国。阻碍来自宗教与文化上, 印度人对渡海有禁忌。
Gilbert Walker 当年 45 岁, 是 Simla 地方的印度气象分局局长, 他得过 Senior Wranger, 在三一学院教过书, 新近成为皇家学院院士 (F.R.S.)。他在 2 月 25 日路过 Madras 时 Sir Francis 给他看 Ramanujan 的笔记本。第二天 Walker 写信给 Madras 大学, 推荐 Ramanujan 为该大学的研究生。Walker 念的是应用数学, 而当时从事的是气象学, 对纯数学不熟悉, 但有 Hardy 的背书, 他便写了 Ramanujan 的推荐信。由于他的信函, Madras 大学数学会议上大家决定向行政当局建议给 Ramanujan 一个月 75 rupee 的研究奖学金。这个奖学金是发给有硕士学位的, 而 Ramanujan 连学士学位都没有, 因此这个建议一度遭到反对, 经过讨论后还是被采用了。
由于 Hardy 的赞许, Ramanujan 从十来年动弹不得变成什么都顺畅起来。
2 月27 日 Ramanujan 又写信给 Hardy, 附加上许多定理。他说:“我发现您是我的朋友,用同情的眼光看我这些年来的成果。在我目前的情况, 我很需要像您这样有名的学者认定我的作品有一些价值, 我写出来的结果可证实是对的, 虽然我的根基薄弱。我是一个半饥饿的人, 我的优先考虑是: 为了保持我的脑力, 我需要食物。您充满同情的信可帮助我获得大学或政府的奖学金。”
4 月12 日 Ramanujan 得到 Madras 大学要发给他研究奖学金这个消息。奖学金可让 Ramanujan 研究数学, 听大学的课程并使用大学图书馆。他的义务是每三个月交出一篇研究报告。
Ramanujan 就租屋在离 Presidency College 一个半哩处, 跟外婆、妈妈、妻子 Janaki (当年 14 岁) 住在一起, 但 Janaki 被规定要跟婆婆或外婆一起睡。三个女人服侍 Ramanujan。他经常在清静、凉爽的半夜起来念书。为了不间断他的思路, 食物有时候是递给他吃的。
这期间 Ramanujan 与 Hardy 在捉迷藏。Hardy 在英国闯出一个改革: 数学定理要有严密的证明。他要求 Ramanujan 给他定理的证明。而 Ramanujan 一直在避开它。事实上他给不出来。Carr 的 “Symposis” 里面定理都是轻描淡写地带过的, Ramanujan 一向学的是这一套。
不过研究 Ramanujan 的专家美国数学家 Bruce Bezndt 说, 有时候让自己逃脱“严密”的锁链, 在自由的想象中反而会发现通过一座森林的路程。
研究生的日子让 Ramanujan 过的很写意。
Hardy 有一阵子没来信后, 1914 年元月初写来一封信, 在一番批评与安慰之后 Hardy 告诉 Ramanujan, 三一学院有一位研究员 E. H. Neville 将在 Madras 的大学演讲微分几何学, 找机会跟 Neville 接触, 听听他有关读书与研究的劝告, 会很有用处的。
其实 Neville 是 Hardy 的一着棋子, 想劝说 Ramanujan 去英国。
元月里 Neville 到达 Madras, Ramanujan 跟他见了面, 觉得他满可亲近的, 也就借给他自己那宝贵的笔记本三天。
早 Ramanujan 20 几年的甘地为了赴英读书被他的族长从他阶级里放逐过。在南印度, Ramanujan 那时候出国还是一种禁忌, 出国者不但会被他的阶级放逐, 亲友们也不再跟他往来。
但是 Neville 与 Ramanujan 见面时发现 Ramanujan 要赴英的反对力量已经缓和下来。原来 Ramanujan 的母亲梦见 Ramanujan 在一群欧洲人士中, 而女神 Namagiri 告诫她不要妨害 Ramanujan 完成他的终身事业。
于是 Ramanujan 与朋友 Narayana Iyer 出发到奉祀女神 Namagiri 的神庙, 晚上在神庙的地板上睡了三夜。第三夜 Ramanujan 叫醒 Narayana Iyer, 说在闪电般亮光中他受到指示, 要横越出国的障碍。
回到 Madras 后 Ramanujan 见 Neville, 说他愿意赴英, 让 Neville 吃了一惊。在记录上 1913 年 2 月 Ramanujan 拒绝了印度当局要他赴英的建议。而在 1914 年 1 月 22 日Ramanujan 写信给 Hardy, 要劳烦他与 Littlewood 帮助他能在近月赴英。
Neville 给 Ramanujan 解决有关钱、英文、考试、学位、素食等问题。事实上 Neville 还是赶紧在 Madras 方面找钱的来路, 并给 Hardy 写信说万一印度方面要不到钱, 得想法子在英国要到, 不能为钱的问题阻止 Ramanujan 赴英。
Neville 告诉那些充满疑惑的印度人士说, Ramanujan 赴英不仅对他个人有好处, 如果他成为数学史上有名的人物, 那么 Madras 市与大学会因曾经在经济上帮助他一臂之力而光荣、骄傲。
于是 Madras 大学同意一年给 Ramanujan 250 磅奖学金加上治装费与旅费 100 磅。
Janaki 私下表示她想跟 Ramanujan 走, 但 Ramanujan 以她还年少, 会让他分心等劝阻她。
(未完待续)
参考文献
Robert Kanigel. “The Man Who Knew Infinity”, Charles Scribner’s Sons, New York, 1991.
Bruce C. Berndt and Rabert A. Rankin, Ramanujan Letters and Commentary”, American Math. Soc. and London Math. Soc., 1995.
G. H. Hardy, “A Mathematician’s Apology”, Combridge University Press, Conte edition, 1992.
“100 人的数学者”, 日本评论社, 1971。 |
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