三名青年数学家破解 125 年历史难题，统一三大物理学理论

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三名青年数学家破解 125 年历史难题，统一三大物理学理论

在希尔伯特第六问题上取得突破，是将物理学根植于数学基础的重要进展。


图片来源：Pixabay

原作 Jack Murtagh

翻译 科研圈 bot

当最伟大的数学家提出对未来一个世纪研究的愿景时，整个数学界都为之瞩目。这一幕在 1900 年法国巴黎索邦大学国际数学家大会上真实上演。传奇数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）当时提出了 10 个未解难题，作为二十世纪数学研究的雄心勃勃路标。他后来将清单扩充至 23 个难题，这些命题在过去 125 年间对数学思想的影响无论怎样强调都不为过。

今年 3 月，美国芝加哥大学的邓煜与密歇根大学的扎赫尔·哈尼（Zaher Hani）、马骁等数学家合作，在预印本服务器 arXiv.org 上发布了一篇新论文，声称攻克了其中一个目标——希尔伯特第六问题。希尔伯特呼吁将物理学“公理化”，或者确定所有物理理论背后的最低限度的数学假设。从广义上讲，数学和物理学家们其实并不清楚，自己是否解决了这个挑战。然而，希尔伯特提到了一些具体的子目标，后学则将他的愿景提炼成了解决方案的具体步骤。若这三名学者的最新成果经得起学术检验，将标志着学界在将物理学建立于数学基础这一方向取得重大进展，并可能为物理学其他领域的类似突破开辟道路。

研究团队在论文中表示，他们已找到统一解释流体运动的三大物理理论的路径。这些理论主导着从飞机设计到天气预报等众多工程应用，但此前均建立在未经严格证明的假设之上。这一突破虽不改变理论本身，但从数学层面验证了其正确性，增强了我们对方程可靠性的信心。

每一种理论在聚焦流动液体或气体的程度方面各不相同。在微观层面，流体由粒子构成——这些粒子如同微型台球般四处弹跳、偶尔碰撞——而牛顿运动定律能很好地描述其运动轨迹。

但当放大视角去考察大量粒子的集体行为，即所谓的介观层面时，逐个单独建模就不再方便了。1872 年，奥地利理论物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）提出了后来被称为“玻尔兹曼方程”的公式，解决了这一难题。该方程不再追踪每个粒子的行为，而是考虑典型粒子的可能行为模式。这种统计视角抹去了底层细节，转而关注更高层次的趋势。借助该方程，物理学家无需费力考量每个微观碰撞，就能计算出流体中动量、热导率等参数的演化规律。

视角再拉远一些，你便置身于宏观世界之中。此时我们不再将流体视为离散粒子的集合，而是看作单一的连续介质。在这个分析层级，欧拉方程和纳维-斯托克斯方程（Euler and Navier-Stokes equations）这一组截然不同的方程体系，无需借助粒子概念，就能精确描述流体的运动规律及其物理特性之间的相互关系。

这三个分析层次描述了同一本质现实——流体如何流动。从原理上讲，每个理论都应建立在层次结构中下一级理论的基础上：宏观层面的欧拉方程和纳维-斯托克斯方程应能从介观层面的玻尔兹曼方程逻辑推导得出，而玻尔兹曼方程又应能从微观层面的牛顿运动定律逻辑推导得出。这正是希尔伯特在其第六问题中呼吁的"公理化"模式，他在问题阐述中明确引用了玻尔兹曼在气体研究方面的工作。我们期望完整的物理学理论能够遵循从微观到宏观层面解释现象的数学规则。如果科学家无法弥合这一鸿沟，可能意味着我们现有理论存在错误。

统一流体动力学的这三个视角一直是该领域的一个棘手难题，但邓煜、马骁和扎赫尔·哈尼可能刚刚完成了这一壮举。他们的成就是建立在数十年逐步进展的基础之上。不过，之前的突破都伴随着某种限制条件；例如，相关推导仅在短时间尺度、真空中或是在其他简化条件下才成立。

新证明大致分为三个步骤：先从介观理论推导出宏观理论，再从微观理论推导出介观理论，最后将两者结合，形成从微观层面直抵宏观定律的完整推导链条。

第一步先前已被理解，甚至希尔伯特本人也曾对此做出贡献。另一方面，从微观推导介观在数学上更具挑战性。需要注意的事，介观尺度关注的是海量粒子的集体行为。因此，邓煜、哈尼和马骁研究了当相互碰撞反弹的粒子数量趋向无穷大且粒子尺寸趋近于零时，牛顿方程的表现形式。他们证明了当将牛顿方程延伸至这些极端条件时，系统的统计行为——或者说流体中"典型"粒子的可能行为——会收敛于玻尔兹曼方程的解。这一步通过从微观数学的极端行为推导出介观数学，架设了理论间的桥梁。

这一步的主要障碍在于方程建模的时间长度。人们已经掌握如何在极短时间尺度上从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程，但这无法满足希尔伯特问题的诉求，因为现实世界的流体可以在任意时间跨度内流动。随着时间尺度的延长，复杂性也随之增加：粒子间的碰撞次数增多，且一个粒子的整个相互作用历史可能会影响其当前行为。研究者们通过精确量化粒子历史对当前状态的影响程度，并借助新的数学方法论证先前碰撞的累积效应仍然微弱，从而克服了这一难题。

他们在长时间尺度上的突破性成果，与之前从玻尔兹曼方程推导欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的工作相结合，统一了流体动力学的三大理论体系。这一发现证明了根据实际应用场景选择不同流体视角的合理性，因为在数学上，它们最终会汇聚成描述同一现实本质的终极理论。若证明无误，这标志着希尔伯特问题取得了全新突破。我们期待这种创新方法能如洪水决堤般冲破希尔伯特难题的桎梏，让更多物理发现奔涌向前。

原文链接：

https://www.scientificamerican.c ... er-to-being-solved/

本文来自微信公众号“环球科学科研圈”。

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