给定三角形各顶点到垂心的距离 AH、BH、CH ，求外接圆半径 R

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给定三角形各顶点到垂心的距离 AH、BH、CH ，求外接圆半径 R 。

有两个方程如下：
                 \(4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R + AH\, BH\, CH = 0\) ---------(1)
                  \(4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R - AH\, BH\, CH = 0\) ---------(2)

证明：
           ① 当 AH、BH、CH 有一个为零时，三角形是直角三角形，以上两个方程 R 都满足。
           ② 当 AH = BH = CH 时，三角形是正三角形且 R = AH = BH = CH，R 只满足方程 (2)。
           ③ 当 AH、BH、CH 不符合上述两种情况时，R 有两个解，较小的半径满足方程 (1)，较大的半径满足方程 (2)。

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命题 ① 证明：当 \(AH、BH、CH\) 中有一个为零时，三角形是直角三角形。例如 \(AH=0\) 时垂心就在顶点 \(A\) 处。\(BH、CH\) 就是三角形的两条直角边。
斜边长为 \(\sqrt{BH^2+CH^2}\)，外接圆半径为 \(R=\sqrt{BH^2+CH^2}/2\)，故\(4R^2=BH^2+CH^2\)，此时由于 \(AH=0\)，所以
\(4R^3-(AH^2+BH^2+CH^2)R+AH BH CH=4R^3-(AH^2+BH^2+CH^2)R-AH BH CH=4R^3-(BH^2+CH^2)R=(2R)^2 R - 4R^2 R=0\)

命题 ② 证明：当 \(AH=BH=CH\) 时，三角形为正三角形，此时\(R =AH=BH=CH\)，故
\(4R^3-(AH^2+BH^2+CH^2)R-AH BH CH=4R^3-(R^2+R^2+R^2)R-R^3=0\)

命题 ③ 证明：



程序代码：

1. Clear["Global`*"]; (*设B在坐标原点，C在1点， kAB=u^2，kAC=1/v^2 *)
   
2. 
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/(
   
5. u^2 v^2 - 1);
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1);
   
7. (*\[EmptyUpTriangle]ABC 的外心坐标*) o = (u^2 v^2)/(u^2 v^2 - 1);
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 1/(
   
9. 1 - u^2 v^2);   (*外接圆半径*) R = ( I u v)/(u^2 v^2 - 1);
   
10. (*\[EmptyUpTriangle]ABC 的垂心坐标*)h = (u^2 + 1)/(1 - u^2 v^2);  
    
11. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = ((u^2 + 1) v^2)/(u^2 v^2 - 1);
    
12. (*AH^2*)AH2 = Simplify[(a - h) (
    
13. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\))]; AH2 = -((u^2 v^2 +
    
15.     1)^2/(u^2 v^2 - 1)^2); AH =
    
16. I (u^2 v^2 + 1)/(u^2 v^2 - 1);(*钝角 \[EmptyUpTriangle]ABC 适用*)
    
17. (*BH^2*)BH2 = Simplify[(b - h) (
    
18. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) -
    
19. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\))]; BH2 = -(((u^2 +
    
20.      1)^2 v^2)/(u^2 v^2 - 1)^2); BH = I ((u^2 + 1) v)/(u^2 v^2 - 1);
    
21. (*CH^2*)CH2 = Simplify[(c - h) (
    
22. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) -
    
23. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\))]; CH2 = -((
    
24.   u^2 (v^2 + 1)^2)/(u^2 v^2 - 1)^2); CH =
    
25. I ( (v^2 + 1) u)/(u^2 v^2 - 1);
    
26. Simplify[4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R +
    
27.   AH BH CH] (*钝角 \[EmptyUpTriangle]ABC 适用*)
    
28. AH = -I (u^2 v^2 + 1)/(u^2 v^2 - 1);(*锐角 \[EmptyUpTriangle]ABC 适用*)
    
29. Simplify[4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R -
    
30.   AH BH CH] (*锐角 \[EmptyUpTriangle]ABC 适用*)
    

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命题 ③ 的另一个证明：
易知  \(HA=2R cos|A|、HB=2R cos|B|、HC=2R cos|C|\)，如果三角形是锐角三角形，这公式中的绝对值号可以去掉。三者相乘为正。
如果是钝角三角形，只有一个角是钝角，另外两个是锐角，因此三者相乘为负。
又由此式知， \(HA^2=4R^2 (cosA)^2、HB^2=4R^2(cosB)^2、HC^2=4R^2 (cosC)^2\)。
由恒等式： \(cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosA cosB cosC=1\)，将上面各式代入得
\(\frac{HA^2+HB^2+HC^2}{4R^2}±\frac{HA\,HB\,HC}{4R^3}=1\)，如前所述，关于左式中的正负号，锐角三角形取正号，钝角三角形取负号。
最后这个式子去分母后就得到 1 # 楼那个表达式。

上面这个证明是【悠闲娱乐网站】中 kuing 给出的。

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！已收藏。

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主楼中的两个关于 R 的方程，当给定 AH、BH、CH 后，对于钝角三角形可能解出两个正根，还需要进行判别舍弃其中一个正根，因而解方程的方法并不太实用。
下面给出一个不用解方程，用 mathematica 软件计算三角形各边长、外接圆半径、内切圆半径的程序，程序也相当于给出了计算公式。
当已知量 AH、BH、CH 都化为有理数输入时，可达到任意计算精度。

1. Clear["Global`*"];(*不解方程，给定 AH、BH、CH，求边长、外接圆半径、内切圆半径的程序*)
   
2. AH = 0.7; BH = 1.1; CH = 1.5;(*小数，无法算到任意精度*)
   
3. AH = 7/10; BH = 11/10; CH = 15/10;(*有理数，可算到任意精度*)
   
4. 
   
5. u = AH^2 + BH^2 + CH^2; v = AH^2 BH^2 CH^2;
   
6. w1 = Power[-(u^3/27) + 2 v -
   
7.   Sqrt[(2 v - u^3/27)^2 - u^6/729], (3)^-1]; w2 = Power[-(u^3/27) +
   
8.   2 v + Sqrt[(2 v - u^3/27)^2 - u^6/729], (3)^-1];
   
9. t1 = (2 u)/3 + w1 + w2;
   
10. t2 = 1/6 (4 u + 3 I (I + Sqrt[3]) w1 - 3 I (-I + Sqrt[3]) w2);
    
11. 
    
12. If[N[Re[t1] > AH^2 && Re[t1] > BH^2 && Re[t1] > CH^2],
    
13.   Print["a1 = ", Sqrt[N[Re[t1], 100] - AH^2]] &&
    
14.    Print["b1 = ", Sqrt[N[Re[t1], 100] - BH^2]] &&
    
15.    Print["c1 = ", Sqrt[N[Re[t1], 100] - CH^2]]];
    
16. If[N[Re[t1] > AH^2 && Re[t1] > BH^2 && Re[t1] > CH^2],
    
17.   a1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - AH^2] ;
    
18.   b1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - BH^2]; c1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - CH^2];
    
19.   p1 = (a1 + b1 + c1)/2;
    
20.   Print["R1 = ", a1 b1 c1/4/Sqrt[p1 (p1 - a1) (p1 - b1) (p1 - c1)] ]];
    
21. If[N[Re[t1] > AH^2 && Re[t1] > BH^2 && Re[t1] > CH^2],
    
22.   a1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - AH^2] ;
    
23.   b1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - BH^2]; c1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - CH^2];
    
24.   p1 = (a1 + b1 + c1)/2;
    
25.   Print["r1 = ", Sqrt[((p1 - a1) (p1 - b1) (p1 - c1))/p1] ]];
    
26. Print["。。。。。。。。。。。。。。 "];
    
27. If[N[Re[t2] > AH^2 && Re[t2] > BH^2 && Re[t2] > CH^2],
    
28.   Print["a2 = ", Sqrt[N[Re[t2], 100] - AH^2]] &&
    
29.    Print["b2 = ", Sqrt[N[Re[t2], 100] - BH^2]] &&
    
30.    Print["c2 = ", Sqrt[N[Re[t2], 100] - CH^2]]];
    
31. If[N[Re[t2] > AH^2 && Re[t2] > BH^2 && Re[t2] > CH^2],
    
32.   a2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - AH^2] ;
    
33.   b2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - BH^2]; c2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - CH^2];
    
34.   p2 = (a2 + b2 + c2)/2;
    
35.   Print["R2 = ", a2 b2 c2/4/Sqrt[p2 (p2 - a2) (p2 - b2) (p2 - c2)] ]];
    
36. If[N[Re[t2] > AH^2 && Re[t2] > BH^2 && Re[t2] > CH^2],
    
37.   a2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - AH^2] ;
    
38.   b2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - BH^2]; c2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - CH^2];
    
39.   p2 = (a2 + b2 + c2)/2;
    
40.   Print["r2 = ", Sqrt[((p2 - a2) (p2 - b2) (p2 - c2))/p2] ]];
    

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在上面的例子中，给定 AH = 0.7; BH = 1.1; CH = 1.5; 按 AH = 7/10; BH = 11/10; CH = 15/10; 化为有理数输入，计算精度为 100 位的结果是：

a1 = 2.120059563663967377742424850341356237336932802640686722401888290426853014029935336920632968373456083....
b1 = 1.942846507957602848069348736674465426972174318385771770681211925121813371259398979904206151114691419....
c1 = 1.653678491570550646873306568153420921307077526295614026349241730524120403027783877224738987442955181....
R1 = 1.116316773308886072616698531505218038556770139742717759697302904379461299508024170809850051037441176....
r1 = 0.533683226691113927383301468494781961443229860257282240302697095620538700491975829190149948962558824....。

a2 = 1.4122564007156504478701407285719650452733289280277422556017498520880501745207773980803956807398757634....
b2 = 1.128923443534734932225674111298961535882002582503426926564853106110144715578697348745554627918694950....
c2 = 0.484219104706045082381343974023271090343795084628634765315337629255123047436019662936144775933350162....
R2 = 0.78810978634996086610533636330979167357865438548781731953760981922833473031838881534245939573864999....
r2 = 0.161890213650039133894663636690208326421345614512182680462390180771665269681611184657540604261350013....。